Номер 3, страница 37 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 6. Механические колебания и волны. Вариант 3 - номер 3, страница 37.

Условие.

3*. С какой скоростью груз проходит положение равновесия?

Решение.

3* Для определения скорости груза при прохождении положения равновесия используется закон сохранения полной механической энергии для колебательной системы. В системе без трения полная механическая энергия $E$, состоящая из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$, остается постоянной.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Кинетическая энергия груза массой $m$, движущегося со скоростью $v$, равна $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Потенциальная энергия (например, упругой пружины с жесткостью $k$) при смещении $x$ от положения равновесия равна $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

Следовательно, полная энергия системы в любой момент времени описывается выражением:

$E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Рассмотрим два крайних состояния системы:

1. В точке максимального отклонения от положения равновесия смещение тела равно амплитуде ($x = A$), а его скорость в этот момент равна нулю ($v = 0$). Вся механическая энергия системы является потенциальной:

$E = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{kA^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

2. В момент прохождения положения равновесия смещение тела равно нулю ($x = 0$), а его скорость максимальна ($v = v_{max}$). Вся механическая энергия системы является кинетической:

$E = \frac{mv_{max}^2}{2} + \frac{k \cdot 0^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Так как полная энергия сохраняется, мы можем приравнять ее значения в этих двух точках:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Из этого уравнения выразим максимальную скорость $v_{max}$, которая и является скоростью груза при прохождении положения равновесия:

$v_{max}^2 = \frac{k}{m}A^2$

$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Величина $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ является циклической (или круговой) частотой колебаний. Тогда формулу можно записать в более компактном виде:

$v_{max} = \omega A$

Ответ: Скорость груза при прохождении положения равновесия является максимальной и вычисляется по формуле $v_{max} = \omega A$ или $v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $k$ — коэффициент жесткости (например, пружины), $m$ — масса груза.