Номер 4, страница 37 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 6. Механические колебания и волны. Вариант 3 - номер 4, страница 37.

Условие.

4*. При каком отклонении груза от положения равновесия его кинетическая энергия равна потенциальной энергии пружины?

Решение.

Дано:

Условие равенства кинетической и потенциальной энергий: $E_k = E_p$

Найти:

Отклонение груза от положения равновесия, $x$.

Решение:

Полная механическая энергия $E$ системы груз-пружина при гармонических колебаниях сохраняется и равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

Полная энергия системы также равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном отклонении (амплитуде $A$):

$E = \frac{kA^2}{2}$

где $k$ – жесткость пружины.

Потенциальная энергия пружины при отклонении $x$ от положения равновесия определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Согласно условию задачи, кинетическая энергия равна потенциальной:

$E_k = E_p$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$E = E_p + E_p = 2E_p$

Теперь приравняем два выражения для полной энергии:

$\frac{kA^2}{2} = 2E_p$

Подставим формулу для потенциальной энергии $E_p$:

$\frac{kA^2}{2} = 2 \cdot \left(\frac{kx^2}{2}\right)$

Упростим выражение:

$\frac{kA^2}{2} = kx^2$

Сократим обе части уравнения на $k$ (так как $k \neq 0$):

$\frac{A^2}{2} = x^2$

Из этого уравнения находим искомое отклонение $x$:

$x = \pm \sqrt{\frac{A^2}{2}} = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$x = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2}$

Это означает, что кинетическая энергия равна потенциальной, когда отклонение груза от положения равновесия составляет приблизительно $0.707$ от амплитуды колебаний. Знак $\pm$ указывает, что это происходит по обе стороны от положения равновесия.

Ответ: $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$, где $A$ – амплитуда колебаний.