Номер 1, страница 210, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 1, страница 210.

Условие.

1. Горизонтально летящая пуля массой $\text{m}$ попала в покоящийся брусок массой $\text{M}$, подвешенный на лёгком стержне длиной $\text{l}$, после чего брусок с застрявшей в нём пулей совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости. Какой могла быть скорость пули $\text{v}$?

Решение.

Дано:

$\text{m}$ - масса пули

$\text{M}$ - масса бруска

$\text{l}$ - длина стержня

$\text{v}$ - начальная скорость пули

Все величины заданы в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

$\text{v}$ - скорость пули.

Решение:

Задачу можно разбить на два последовательных этапа: абсолютно неупругое соударение пули и бруска, и последующее движение системы «брусок с пулей» по окружности.

1. Абсолютно неупругое соударение.

В момент соударения пули и бруска можно применить закон сохранения импульса для системы «пуля-брусок» в проекции на горизонтальную ось. Внешними силами (сила тяжести, сила реакции стержня) в горизонтальном направлении можно пренебречь, так как удар происходит очень быстро.

Импульс системы до соударения: $p_1 = m v$. Брусок покоится, его импульс равен нулю.

После соударения пуля застревает в бруске, и они начинают двигаться вместе со скоростью $\text{u}$. Импульс системы после соударения: $p_2 = (m+M)u$.

По закону сохранения импульса:

$p_1 = p_2$

$m v = (m+M)u$

Отсюда можно выразить скорость системы «брусок с пулей» сразу после столкновения:

$u = \frac{m v}{m+M}$ (1)

2. Движение по окружности.

Для того чтобы брусок со стержнем совершил полный оборот в вертикальной плоскости, он должен достичь верхней точки траектории. Так как брусок подвешен на лёгком стержне (а не на нити), то стержень может работать как на растяжение, так и на сжатие. Поэтому для совершения полного оборота достаточно, чтобы скорость тела в верхней точке была больше или равна нулю. Минимальное условие — скорость в верхней точке равна нулю ($v_{верх} \ge 0$).

Применим закон сохранения механической энергии для системы «брусок с пулей». За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение бруска.

Полная механическая энергия в нижней точке (сразу после удара):

$E_{низ} = \frac{(m+M)u^2}{2}$

Полная механическая энергия в верхней точке траектории (на высоте $h = 2l$):

$E_{верх} = \frac{(m+M)v_{верх}^2}{2} + (m+M)g(2l)$

По закону сохранения энергии $E_{низ} = E_{верх}$:

$\frac{(m+M)u^2}{2} = \frac{(m+M)v_{верх}^2}{2} + (m+M)g(2l)$

Сократим на $(m+M)$:

$\frac{u^2}{2} = \frac{v_{верх}^2}{2} + 2gl$

$u^2 = v_{верх}^2 + 4gl$

Чтобы найти минимальную необходимую скорость $\text{u}$ в нижней точке, подставим минимальное значение скорости в верхней точке, $v_{верх} = 0$:

$u_{min}^2 = 4gl \implies u_{min} = 2\sqrt{gl}$

Таким образом, для совершения полного оборота необходимо, чтобы скорость бруска с пулей сразу после столкновения удовлетворяла условию:

$u \ge 2\sqrt{gl}$ (2)

3. Определение скорости пули.

Подставим выражение для скорости $\text{u}$ из уравнения (1) в неравенство (2):

$\frac{m v}{m+M} \ge 2\sqrt{gl}$

Выразим отсюда скорость пули $\text{v}$:

$v \ge \frac{m+M}{m} 2\sqrt{gl}$

Это и есть условие для скорости пули.

Ответ: Скорость пули $\text{v}$ должна удовлетворять условию $v \ge \frac{m+M}{m} 2\sqrt{gl}$ или $v \ge \left(1 + \frac{M}{m}\right) 2\sqrt{gl}$.