Номер 1, страница 209, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 1, страница 209.

Условие.

1. На горизонтальной доске длиной $2 \text{ м}$ лежит брусок. Он начинает соскальзывать с доски, когда один её конец поднимают на $1 \text{ м}$. В течение какого времени брусок будет скользить вдоль всей доски, если один конец доски поднять на $1 \text{ м } 40 \text{ см}$? Начальная скорость бруска равна нулю.

Решение.

Дано:

Длина доски $L = 2 \text{ м}$

Высота подъема для начала скольжения $h_1 = 1 \text{ м}$

Высота подъема для скольжения $h_2 = 1 \text{ м } 40 \text{ см} = 1.4 \text{ м}$

Начальная скорость бруска $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время скольжения $\text{t}$

Решение:

Сначала найдем коэффициент трения скольжения $\mu$. По условию, брусок начинает соскальзывать, когда один конец доски поднят на высоту $h_1 = 1 \text{ м}$. Это означает, что при угле наклона $\alpha_1$ проекция силы тяжести на наклонную плоскость равна максимальной силе трения покоя.

Условие начала скольжения: $mg \sin(\alpha_1) = F_{тр.ст.макс}$.

Максимальная сила трения покоя $F_{тр.ст.макс} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения (будем считать, что коэффициент трения покоя равен коэффициенту трения скольжения), а $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры.

Сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную составляющую силы тяжести: $N = mg \cos(\alpha_1)$.

Таким образом, $mg \sin(\alpha_1) = \mu mg \cos(\alpha_1)$, откуда $\mu = \frac{\sin(\alpha_1)}{\cos(\alpha_1)} = \tan(\alpha_1)$.

Синус и косинус угла $\alpha_1$ можно найти из геометрии:

$\sin(\alpha_1) = \frac{h_1}{L} = \frac{1 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0.5$

$\cos(\alpha_1) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_1)} = \sqrt{1 - 0.5^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда коэффициент трения: $\mu = \frac{0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем ускорение бруска, когда один конец доски поднят на высоту $h_2 = 1.4 \text{ м}$. Пусть новый угол наклона доски равен $\alpha_2$.

$\sin(\alpha_2) = \frac{h_2}{L} = \frac{1.4 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0.7$

$\cos(\alpha_2) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_2)} = \sqrt{1 - 0.7^2} = \sqrt{1 - 0.49} = \sqrt{0.51}$

Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вниз:

$ma = mg \sin(\alpha_2) - F_{тр.ск.}$, где $F_{тр.ск.} = \mu N' = \mu mg \cos(\alpha_2)$.

$ma = mg \sin(\alpha_2) - \mu mg \cos(\alpha_2)$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для ускорения:

$a = g(\sin(\alpha_2) - \mu \cos(\alpha_2))$

Подставим числовые значения:

$a = 9.8 \cdot \left(0.7 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{0.51}\right) = 9.8 \cdot \left(0.7 - \sqrt{\frac{0.51}{3}}\right) = 9.8 \cdot (0.7 - \sqrt{0.17})$

$a \approx 9.8 \cdot (0.7 - 0.4123) = 9.8 \cdot 0.2877 \approx 2.82 \text{ м/с}^2$

Брусок движется с постоянным ускорением $\text{a}$ из состояния покоя ($v_0 = 0$). Расстояние, которое он проходит, равно длине доски $\text{L}$. Используем формулу равноускоренного движения:

$L = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, то $L = \frac{at^2}{2}$.

Отсюда выражаем время $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$

Подставляем значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2.82}} = \sqrt{\frac{4}{2.82}} \approx \sqrt{1.4184} \approx 1.19 \text{ с}$

Ответ: время, в течение которого брусок будет скользить вдоль всей доски, составляет примерно 1,19 с.