Номер 3, страница 208, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 3, страница 208.

Условие.

3. Искусственный спутник Земли «висит» постоянно над одной и той же точкой поверхности Земли. На каком расстоянии от поверхности Земли он находится? В каком месте поверхности Земли может находиться точка, над которой «висит» спутник?

Решение.

Спутник, который постоянно «висит» над одной и той же точкой поверхности Земли, называется геостационарным. Это означает, что его угловая скорость вращения вокруг центра Земли равна угловой скорости вращения самой Земли вокруг своей оси. Период обращения такого спутника равен периоду вращения Земли.

На каком расстоянии от поверхности Земли он находится?

Для нахождения высоты орбиты приравняем силу всемирного тяготения, действующую на спутник, к центростремительной силе, которая удерживает его на круговой орбите.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$
Масса Земли $M \approx 5.972 \times 10^{24} кг$
Радиус Земли $R \approx 6371 км$
Период вращения Земли (сидерические сутки) $T \approx 23 ч \ 56 мин \ 4 с$

$R = 6371 \cdot 10^3 м = 6.371 \times 10^6 м$
$T = 23 \cdot 3600 + 56 \cdot 60 + 4 = 86164 с$

Найти:

Высоту над поверхностью Земли $\text{h}$.

Решение:

Сила всемирного тяготения $F_g$ равна центростремительной силе $F_ц$:

$F_g = F_ц$

$G \frac{M m}{r^2} = m a_ц$

где $\text{M}$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса спутника, $\text{r}$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли), $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $a_ц$ – центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение для круговой орбиты можно выразить через угловую скорость $\omega$: $a_ц = \omega^2 r$. Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставим это в уравнение:

$G \frac{M m}{r^2} = m \omega^2 r$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и подставим выражение для $\omega$:

$G \frac{M}{r^2} = (\frac{2\pi}{T})^2 r$

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} r$

Выразим радиус орбиты $\text{r}$:

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим численные значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24}) \cdot (86164)^2}{4 \cdot (3.14159)^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{2.95 \times 10^{24}}{39.48}} \approx \sqrt[3]{7.47 \times 10^{22}} \approx 4.21 \times 10^7 м$

Радиус орбиты $\text{r}$ – это расстояние от центра Земли. Он равен сумме радиуса Земли $\text{R}$ и высоты спутника над поверхностью $\text{h}$: $r = R + h$.

Найдем высоту $\text{h}$:

$h = r - R = 4.21 \times 10^7 м - 6.371 \times 10^6 м = 3.5729 \times 10^7 м \approx 35729 км$

Обычно это значение округляют до 36 000 км.

Ответ: Спутник находится на расстоянии примерно 35 729 км от поверхности Земли.

В каком месте поверхности Земли может находиться точка, над которой «висит» спутник?

Чтобы спутник оставался неподвижным относительно наблюдателя на Земле, его орбита должна удовлетворять трем условиям:

1. Орбита должна быть круговой.
2. Период обращения спутника должен быть равен периоду вращения Земли (сидерическим суткам).
3. Плоскость орбиты спутника должна совпадать с плоскостью земного экватора.

Последнее условие является ключевым для ответа на этот вопрос. Если бы плоскость орбиты была наклонена к экватору, спутник для земного наблюдателя перемещался бы по небу, описывая траекторию в виде "восьмерки", а не висел бы неподвижно. Сила тяготения всегда направлена к центру масс Земли, и чтобы орбита была стабильной и неподвижной относительно поверхности, она должна лежать в плоскости, проходящей через центр Земли и перпендикулярной оси вращения. Такой плоскостью является только экваториальная плоскость.

Ответ: Точка на поверхности Земли, над которой может «висеть» геостационарный спутник, должна обязательно находиться на экваторе.