Номер 3, страница 207, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 3, страница 207.

Условие.

3. Прокатите ладонью круглый карандаш по столу. Какой путь $\text{l}$ прошла ладонь за время, в течение которого карандаш совершил пять полных оборотов? Радиус карандаша $\text{r}$. Проверьте ваш расчёт на опыте, измерив радиус карандаша.

Решение.

Дано:

Число полных оборотов карандаша: $n = 5$

Радиус карандаша: $\text{r}$

Найти:

Путь, пройденный ладонью: $\text{l}$

Решение:

Когда карандаш катится по столу без проскальзывания, его движение можно разложить на поступательное движение центра масс и вращательное движение вокруг него. Точка карандаша, которая касается стола, в каждый момент времени неподвижна. Это мгновенный центр вращения.

Скорость центра карандаша ($v_{ц}$) связана с угловой скоростью вращения ($\omega$) соотношением $v_{ц} = \omega r$.

Ладонь касается верхней точки карандаша. Скорость этой точки ($v_{л}$) относительно стола равна сумме скорости центра карандаша и линейной скорости вращения верхней точки относительно центра:$v_{л} = v_{ц} + \omega r = v_{ц} + v_{ц} = 2v_{ц}$.Таким образом, ладонь движется в два раза быстрее, чем центр карандаша.

За один полный оборот центр карандаша перемещается на расстояние, равное длине окружности карандаша: $C = 2 \pi r$.За $n=5$ оборотов центр карандаша пройдет путь $s_{ц}$:$s_{ц} = n \cdot C = 5 \cdot 2 \pi r = 10 \pi r$.

Поскольку ладонь движется в два раза быстрее центра карандаша, за то же самое время она пройдет путь $\text{l}$, который в два раза больше пути, пройденного центром карандаша ($s_{ц}$):$l = 2 \cdot s_{ц}$.

Подставим найденное выражение для $s_{ц}$:

$l = 2 \cdot (10 \pi r) = 20 \pi r$.

Для проверки этого расчета на опыте, как предлагается в задаче, можно измерить радиус $\text{r}$ вашего карандаша (например, измерив диаметр линейкой и разделив пополам). Затем, прокатив карандаш ладонью на 5 оборотов, измерить пройденный ладонью путь. Например, если диаметр карандаша равен 7 мм, то его радиус $r=3.5$ мм. Расчетный путь ладони будет равен $l = 20 \cdot \pi \cdot 3.5 \, \text{мм} \approx 219.9 \, \text{мм}$, что составляет примерно 22 см.

Ответ: Путь, который прошла ладонь, вычисляется по формуле $l = 20 \pi r$.