Номер 2, страница 208, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 2, страница 208.

Условие.

2. Астероид массой $10^9$ т движется вокруг некоторой звезды по круговой орбите радиусом $10^7$ км, совершая один оборот за 7,27 земных суток. Чему равна масса звезды? Есть ли в задаче лишние данные?

Решение.

Чему равна масса звезды?

Дано:

Масса астероида $m = 10^9$ т
Радиус орбиты $R = 10^7$ км
Период обращения $T = 7,27$ земных суток
Гравитационная постоянная $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в систему СИ:
$m = 10^9 \text{ т} = 10^9 \cdot 10^3 \text{ кг} = 10^{12} \text{ кг}$
$R = 10^7 \text{ км} = 10^7 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^{10} \text{ м}$
$T = 7,27 \text{ суток} = 7,27 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 628368 \text{ с}$

Найти:

Массу звезды $\text{M}$.

Решение:

Движение астероида по круговой орбите происходит под действием гравитационной силы звезды. Эта сила сообщает астероиду центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять гравитационную силу и центростремительную силу:

$F_г = F_ц$

Гравитационная сила, действующая на астероид со стороны звезды, определяется законом всемирного тяготения:

$F_г = G \frac{M m}{R^2}$

Центростремительная сила, действующая на астероид, равна:

$F_ц = m a_ц = \frac{m v^2}{R}$

где $\text{v}$ - линейная скорость астероида. Скорость можно выразить через период обращения $\text{T}$ и радиус орбиты $\text{R}$:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу центростремительной силы:

$F_ц = \frac{m}{R} \left( \frac{2 \pi R}{T} \right)^2 = \frac{m \cdot 4 \pi^2 R^2}{R T^2} = \frac{4 \pi^2 m R}{T^2}$

Теперь приравняем выражения для гравитационной и центростремительной сил:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{4 \pi^2 m R}{T^2}$

Как видно из уравнения, масса астероида $\text{m}$ сокращается. Выразим из этого уравнения массу звезды $\text{M}$:

$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot (10^{10} \text{ м})^3}{6,674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot (628368 \text{ с})^2} \approx \frac{4 \cdot 9,8696 \cdot 10^{30}}{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 3,948 \cdot 10^{11}} \approx \frac{39,4784 \cdot 10^{30}}{26,35} \approx 1,498 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Ответ: Масса звезды равна примерно $1,5 \cdot 10^{30}$ кг.

Есть ли в задаче лишние данные?

Да, в задаче есть лишние данные. При выводе и расчете массы звезды $\text{M}$ мы использовали формулу $M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$. В этом уравнении масса астероида $\text{m}$ отсутствует, так как она сократилась на одном из этапов решения. Следовательно, для нахождения массы звезды масса астероида не требуется.

Ответ: Да, лишним данным является масса астероида ($10^9$ т).