Номер 1, страница 209, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 1, страница 209.

Условие.

1. На крышу дома высотой 20 м медленно подняли груз массой 16 кг, прикреплённый к металлической цепи. При этом совершили работу, равную 4,2 кДж. В начальный момент груз лежал на земле, а цепь была слегка натянутой. Чему равна масса цепи?

Решение.

Дано:

$h = 20$ м (высота дома)

$m_г = 16$ кг (масса груза)

$A = 4,2$ кДж (совершенная работа)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Перевод в систему СИ:

$A = 4,2 \text{ кДж} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж}$

Найти:

$m_ц$ — масса цепи.

Решение:

Поскольку груз поднимали медленно, изменением его кинетической энергии можно пренебречь. В этом случае вся совершенная работа $\text{A}$ идет на увеличение потенциальной энергии системы "груз-цепь".

Общая работа складывается из работы по подъему груза ($A_г$) и работы по подъему цепи ($A_ц$):

$A = A_г + A_ц$

Работа по подъему груза равна изменению его потенциальной энергии. Груз поднимают с земли (высота 0) на крышу (высота $\text{h}$).

$A_г = \Delta E_{p,г} = m_г g h$

Рассчитаем работу по подъему груза:

$A_г = 16 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м} = 3200 \text{ Дж}$

Работа по подъему цепи также равна изменению ее потенциальной энергии. Согласно условию, в начальный момент цепь была натянута, значит, ее длина равна высоте дома $h = 20$ м, и она висела вертикально. Если считать цепь однородной, то ее центр масс изначально находился на высоте $h_{ц1} = h/2$.

В конечный момент, когда груз поднят на крышу, вся цепь также оказывается на крыше, то есть на высоте $\text{h}$. Ее центр масс теперь находится на высоте $h_{ц2} = h$.

Таким образом, изменение высоты центра масс цепи составляет:

$\Delta h_ц = h_{ц2} - h_{ц1} = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2}$

Работа по подъему цепи равна:

$A_ц = \Delta E_{p,ц} = m_ц g \Delta h_ц = m_ц g \frac{h}{2}$

Теперь подставим выражения для $A_г$ и $A_ц$ в формулу для полной работы:

$A = m_г g h + m_ц g \frac{h}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую массу цепи $m_ц$:

$A - m_г g h = m_ц g \frac{h}{2}$

$m_ц = \frac{A - m_г g h}{g \frac{h}{2}} = \frac{2(A - m_г g h)}{gh}$

Подставим числовые значения и вычислим массу цепи:

$m_ц = \frac{2(4200 \text{ Дж} - 3200 \text{ Дж})}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}} = \frac{2 \cdot 1000 \text{ Дж}}{200 \text{ м}^2/\text{с}^2} = \frac{2000}{200} \text{ кг} = 10 \text{ кг}$

Ответ: масса цепи равна 10 кг.