Номер 1, страница 210, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности - номер 1, страница 210.

Условие.

1. Шайба массой 20 г скользит по внутренней гладкой поверхности закреплённого цилиндра радиусом 50 см, ось которого горизонтальна. Шайба описывает полную окружность, при этом в каждой точке траектории скорость шайбы перпендикулярна оси цилиндра. Насколько сила давления шайбы на цилиндр в нижней точке траектории больше, чем в верхней?

Решение.

Дано:

Масса шайбы $m = 20$ г

Радиус цилиндра $R = 50$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$
$R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Разность сил давления шайбы на цилиндр в нижней и верхней точках траектории $\Delta P = P_{нижн} - P_{верхн}$.

Решение:

Сила давления $\text{P}$, с которой шайба действует на поверхность цилиндра, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$, действующей на шайбу со стороны цилиндра. Таким образом, нам нужно найти разность $\Delta N = N_{нижн} - N_{верхн}$.

Рассмотрим движение шайбы в верхней точке траектории. На шайбу действуют две силы, направленные вертикально вниз (к центру окружности): сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N_{верхн}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_{ц, верхн} = \frac{v_{верхн}^2}{R}$:

$N_{верхн} + mg = m \frac{v_{верхн}^2}{R}$

Отсюда выразим силу реакции опоры в верхней точке:

$N_{верхн} = m \frac{v_{верхн}^2}{R} - mg$

Теперь рассмотрим движение шайбы в нижней точке траектории. На шайбу действуют сила нормальной реакции опоры $N_{нижн}$, направленная вертикально вверх (к центру окружности), и сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз. Второй закон Ньютона для нижней точки:

$N_{нижн} - mg = m \frac{v_{нижн}^2}{R}$

Отсюда выразим силу реакции опоры в нижней точке:

$N_{нижн} = m \frac{v_{нижн}^2}{R} + mg$

Найдем искомую разность сил:

$\Delta N = N_{нижн} - N_{верхн} = \left(m \frac{v_{нижн}^2}{R} + mg\right) - \left(m \frac{v_{верхн}^2}{R} - mg\right) = \frac{m}{R}(v_{нижн}^2 - v_{верхн}^2) + 2mg$

Чтобы найти разность квадратов скоростей, воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как поверхность гладкая (трение отсутствует). Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку траектории. Тогда высота верхней точки относительно нижней будет $h = 2R$.

Энергия в нижней точке: $E_{нижн} = \frac{m v_{нижн}^2}{2} + 0$

Энергия в верхней точке: $E_{верхн} = \frac{m v_{верхн}^2}{2} + mg(2R)$

По закону сохранения энергии $E_{нижн} = E_{верхн}$:

$\frac{m v_{нижн}^2}{2} = \frac{m v_{верхн}^2}{2} + 2mgR$

Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $\text{m}$:

$v_{нижн}^2 = v_{верхн}^2 + 4gR$

Отсюда $v_{нижн}^2 - v_{верхн}^2 = 4gR$.

Подставим это выражение в формулу для разности сил $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{m}{R}(4gR) + 2mg = 4mg + 2mg = 6mg$

Таким образом, разность сил давления равна $\Delta P = \Delta N = 6mg$.

Произведем вычисления:

$\Delta P = 6 \cdot 0.02 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.12 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.176 \text{ Н}$

Ответ: сила давления шайбы на цилиндр в нижней точке траектории больше, чем в верхней, на $1.176$ Н.