Номер 1, страница 209, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Потенциальная и кинетическая энергия - номер 1, страница 209.

Условие.

1. Тело свободно падает на землю с высоты 20 м без начальной скорости. Чему равна скорость тела в момент, когда его потенциальная энергия в 3 раза больше кинетической энергии? Нулевому значению потенциальной энергии соответствует уровень земли.

Решение.

Дано:

Начальная высота: $H = 20$ м

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с

Соотношение энергий: $E_п = 3 \cdot E_к$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Скорость тела $\text{v}$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Поскольку тело падает свободно и сопротивлением воздуха можно пренебречь, его полная механическая энергия в любой точке траектории остается постоянной.

В начальный момент времени, на высоте $\text{H}$, тело покоится, поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{к0}$ равна нулю. Полная механическая энергия $E_{полн}$ равна начальной потенциальной энергии $E_{п0}$:

$E_{полн} = E_{п0} + E_{к0} = m g H + \frac{m v_0^2}{2} = m g H + 0 = m g H$

Рассмотрим момент времени, когда тело находится на некоторой высоте $\text{h}$ и движется со скоростью $\text{v}$. В этот момент его потенциальная энергия $E_п = m g h$, а кинетическая энергия $E_к = \frac{m v^2}{2}$.

По условию задачи в этот момент потенциальная энергия в 3 раза больше кинетической:

$E_п = 3 E_к$

Полная механическая энергия тела в этот момент равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:

$E'_{полн} = E_п + E_к$

Подставим условие $E_п = 3 E_к$ в это выражение:

$E'_{полн} = 3 E_к + E_к = 4 E_к$

Заменив кинетическую энергию её формулой, получим:

$E'_{полн} = 4 \cdot \frac{m v^2}{2} = 2 m v^2$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в начальный момент равна полной энергии в рассматриваемый момент времени: $E_{полн} = E'_{полн}$.

$m g H = 2 m v^2$

Масса тела $\text{m}$ в уравнении сокращается. Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$:

$g H = 2 v^2$

$v^2 = \frac{g H}{2}$

$v = \sqrt{\frac{g H}{2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}{2}} = \sqrt{\frac{200 \text{ м²/с²}}{2}} = \sqrt{100 \text{ м²/с²}} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела равна 10 м/с.