Номер 2, страница 209, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 2, страница 209.

Условие.

2. По шпалам бегут друг за другом два спортсмена одинаковой массы с одинаковой скоростью. На рельсах стоит тележка, в которую спортсмены прыгают один за другим. Тележка с одним спортсменом движется со скоростью $1 \text{ м/с}$, а с двумя — со скоростью $1,5 \text{ м/с}$. Чему равно отношение массы тележки к массе одного спортсмена? С какой скоростью бежали спортсмены? Трением между тележкой и рельсами можно пренебречь.

Решение.

Дано

$\text{m}$ — масса одного спортсмена.

$\text{M}$ — масса тележки.

$\text{v}$ — начальная скорость спортсменов.

$v_1 = 1 \text{ м/с}$ — скорость тележки с одним спортсменом.

$v_2 = 1.5 \text{ м/с}$ — скорость тележки с двумя спортсменами.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$M/m$ — ?

$\text{v}$ — ?

Решение

Задачу можно решить, применяя закон сохранения импульса для системы «спортсмен(ы) — тележка». Поскольку трением можно пренебречь, система является замкнутой в горизонтальном направлении.

Чему равно отношение массы тележки к массе одного спортсмена?

Рассмотрим два события: прыжок первого спортсмена и прыжок второго спортсмена.

1. Первый спортсмен прыгает на неподвижную тележку.
Импульс системы до взаимодействия: $p_{до1} = m \cdot v + M \cdot 0 = mv$.
Импульс системы после взаимодействия (спортсмен и тележка движутся вместе): $p_{после1} = (M+m)v_1$.
По закону сохранения импульса: $mv = (M+m)v_1$. (1)

2. Второй спортсмен прыгает на тележку, уже движущуюся с первым спортсменом.
Импульс системы до взаимодействия: $p_{до2} = m \cdot v + (M+m)v_1$.
Импульс системы после взаимодействия (оба спортсмена и тележка движутся вместе): $p_{после2} = (M+2m)v_2$.
По закону сохранения импульса: $mv + (M+m)v_1 = (M+2m)v_2$. (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $mv$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$(M+m)v_1 + (M+m)v_1 = (M+2m)v_2$
$2(M+m)v_1 = (M+2m)v_2$

Подставим известные значения скоростей $v_1 = 1 \text{ м/с}$ и $v_2 = 1.5 \text{ м/с}$:
$2(M+m) \cdot 1 = (M+2m) \cdot 1.5$
$2M + 2m = 1.5M + 3m$

Сгруппируем слагаемые с $\text{M}$ и $\text{m}$:
$2M - 1.5M = 3m - 2m$
$0.5M = m$

Отсюда находим искомое отношение массы тележки к массе спортсмена:
$\frac{M}{m} = \frac{1}{0.5} = 2$.

Ответ: 2.

С какой скоростью бежали спортсмены?

Для нахождения начальной скорости спортсменов $\text{v}$ воспользуемся уравнением (1), полученным при рассмотрении первого прыжка:
$mv = (M+m)v_1$

Разделим обе части уравнения на $\text{m}$:
$v = \frac{M+m}{m}v_1 = (\frac{M}{m} + 1)v_1$

Мы уже нашли, что отношение $\frac{M}{m} = 2$, а скорость $v_1 = 1 \text{ м/с}$. Подставим эти значения:
$v = (2 + 1) \cdot 1 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}$.

Ответ: 3 м/с.