Номер 1, страница 208, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 1, страница 208.

Условие.

1. Искусственный спутник Земли перевели с орбибы, по которой он двигался со скоростью 6 км/с, на орбиту, где его скорость равна 5 км/с. Удалился спутник от поверхности Земли или приблизился к ней? Во сколько раз изменился период его обращения?

Решение.

Дано:

Начальная скорость спутника: $v_1 = 6$ км/с
Конечная скорость спутника: $v_2 = 5$ км/с

$v_1 = 6 \cdot 10^3$ м/с
$v_2 = 5 \cdot 10^3$ м/с

Найти:

1. Определить, удалился спутник от Земли или приблизился.
2. Найти отношение нового периода обращения к старому: $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

Удалился спутник от поверхности Земли или приблизился к ней?

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения является центростремительной силой. По второму закону Ньютона:

$F_{\text{тяг}} = F_{\text{ц}}$

$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $\text{r}$ — радиус орбиты.

Из этого уравнения выразим скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Из полученной формулы видно, что орбитальная скорость $\text{v}$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты $\text{r}$. Это означает, что чем больше радиус орбиты (чем дальше спутник от Земли), тем меньше его скорость.

В условии задачи скорость спутника уменьшилась с $v_1 = 6$ км/с до $v_2 = 5$ км/с, то есть $v_2 < v_1$. Следовательно, радиус его орбиты увеличился, $r_2 > r_1$. Таким образом, спутник удалился от поверхности Земли.

Ответ: Спутник удалился от поверхности Земли.

Во сколько раз изменился период его обращения?

Период обращения спутника $\text{T}$ — это время, за которое он совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $2\pi r$) к скорости $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Из соотношения $v^2 = \frac{GM}{r}$, полученного ранее, выразим радиус орбиты: $r = \frac{GM}{v^2}$.

Подставим это выражение для радиуса в формулу периода:

$T = \frac{2\pi}{v} \left( \frac{GM}{v^2} \right) = \frac{2\pi GM}{v^3}$

Теперь найдем отношение нового периода $T_2$ к старому $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\frac{2\pi GM}{v_2^3}}{\frac{2\pi GM}{v_1^3}} = \frac{v_1^3}{v_2^3} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^3$

Подставим числовые значения скоростей:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{6 \text{ км/с}}{5 \text{ км/с}}\right)^3 = (1.2)^3 = 1.728$

Таким образом, период обращения спутника увеличился в 1,728 раза.

Ответ: Период обращения спутника увеличился в 1,728 раза.