Номер 1, страница 207, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 1, страница 207.

Условие.

1. На видеокамеру сняли вращающийся вентилятор с тремя лопастями. При просмотре видео лопасти вентилятора кажутся неподвижными. Какой может быть частота $\nu$ вращения лопастей, если видеосъёмка проводилась с частотой 24 кадра в секунду?

Решение.

Дано:

Количество лопастей: $N = 3$

Частота видеосъемки: $f_{cam} = 24$ кадра/с

Перевод в систему СИ:

$f_{cam} = 24$ Гц

Найти:

Частота вращения лопастей: $\nu$ - ?

Решение:

Эффект неподвижности вращающихся лопастей на видеозаписи — это проявление стробоскопического эффекта. Он возникает, когда частота съемки (частота кадров) и частота вращения объекта находятся в определенном соотношении.

Видеокамера записывает изображение с частотой $f_{cam} = 24$ кадра в секунду. Это означает, что время между двумя последовательными кадрами составляет:

$T_{cam} = \frac{1}{f_{cam}} = \frac{1}{24}$ с

Чтобы при просмотре видео лопасти казались неподвижными, за время $T_{cam}$ каждая лопасть должна успеть повернуться на такой угол, чтобы занять положение, которое в предыдущий момент времени занимала другая лопасть.

Вентилятор имеет $N = 3$ симметрично расположенные лопасти. Угол между любыми двумя соседними лопастями составляет:

$\alpha = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Следовательно, за время $T_{cam}$ вентилятор должен повернуться на угол $\Delta\phi$, который кратен углу $\alpha$. Математически это можно записать так:

$\Delta\phi = k \cdot \alpha = k \cdot \frac{2\pi}{N}$ радиан, где $\text{k}$ – любое целое положительное число ($k = 1, 2, 3, \dots$).

С другой стороны, угол поворота связан с угловой скоростью вращения $\omega$ и временем $T_{cam}$ по формуле $\Delta\phi = \omega \cdot T_{cam}$. Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения $\nu$ (количество оборотов в секунду, Гц) соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Таким образом, получаем второе выражение для угла поворота:

$\Delta\phi = 2\pi\nu \cdot T_{cam}$

Приравнивая оба выражения для $\Delta\phi$, мы можем найти связь между частотой вращения вентилятора и частотой съемки камеры:

$k \cdot \frac{2\pi}{N} = 2\pi\nu \cdot T_{cam}$

Сократим $2\pi$ в обеих частях уравнения:

$\frac{k}{N} = \nu \cdot T_{cam}$

Подставим выражение для $T_{cam} = \frac{1}{f_{cam}}$:

$\frac{k}{N} = \frac{\nu}{f_{cam}}$

Теперь выразим искомую частоту вращения лопастей $\nu$:

$\nu = \frac{k \cdot f_{cam}}{N}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $f_{cam} = 24$ Гц и $N = 3$.

$\nu = \frac{k \cdot 24 \text{ Гц}}{3} = 8k \text{ Гц}$

Поскольку $\text{k}$ может быть любым целым положительным числом, частота вращения вентилятора может принимать значения 8 Гц (при $k=1$), 16 Гц (при $k=2$), 24 Гц (при $k=3$) и так далее.

Ответ: Частота вращения лопастей вентилятора $\nu$ должна быть кратна 8 Гц, то есть $\nu = 8k$ Гц, где $\text{k}$ – любое целое положительное число ($k=1, 2, 3, \dots$).