Номер 2, страница 207, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 2, страница 207.

Условие.

2. Разгоняясь с места, гоночный автомобиль проехал мимо дуба со скоростью 72 км/ч, а мимо сосны — со скоростью 144 км/ч. Какова была скорость автомобиля в момент, когда он проезжал мимо берёзы, которая находится точно посередине между дубом и сосной?

Решение.

Дано:

Начальная скорость автомобиля, $v_0 = 0$ (разгоняется с места).

Скорость у дуба, $v_1 = 72$ км/ч.

Скорость у сосны, $v_2 = 144$ км/ч.

Берёза находится точно посередине между дубом и сосной.

$v_1 = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$v_2 = 144 \frac{км}{ч} = 144 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 40 \text{ м/с}$

Найти:

$v_3$ — скорость автомобиля в момент, когда он проезжал мимо берёзы.

Решение:

Будем считать, что гоночный автомобиль движется с постоянным ускорением $\text{a}$, так как он разгоняется.

Для равноускоренного движения без учёта времени используется формула, связывающая скорость, ускорение и пройденный путь:

$S = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a}$

где $\text{S}$ — пройденный путь, $v_i$ — начальная скорость на этом пути, $v_f$ — конечная скорость, $\text{a}$ — ускорение.

Рассмотрим движение автомобиля на участке от дуба до сосны. Пусть расстояние между ними равно $\text{L}$. Тогда начальная скорость на этом участке $v_1$, а конечная $v_2$.

Из формулы выше имеем: $v_2^2 = v_1^2 + 2aL$.

Отсюда можно выразить произведение ускорения на расстояние: $aL = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$.

Берёза находится точно посередине между дубом и сосной. Это значит, что автомобиль, проехав от дуба до берёзы, преодолел расстояние $L/2$.

Теперь рассмотрим движение на участке от дуба до берёзы. Начальная скорость на этом участке — $v_1$, а конечная — искомая скорость $v_3$. Пройденный путь равен $L/2$.

Применим ту же формулу для этого участка: $v_3^2 = v_1^2 + 2a(L/2) = v_1^2 + aL$.

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $aL$:

$v_3^2 = v_1^2 + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$

Приведём к общему знаменателю:

$v_3^2 = \frac{2v_1^2 + v_2^2 - v_1^2}{2} = \frac{v_1^2 + v_2^2}{2}$

Таким образом, квадрат скорости в середине пути равен среднему арифметическому квадратов скоростей в начале и в конце пути.

Теперь подставим числовые значения скоростей в системе СИ:

$v_3^2 = \frac{(20 \text{ м/с})^2 + (40 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 1600 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = \frac{2000 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = 1000 \text{ м}^2/\text{с}^2$

Найдём $v_3$, извлекая квадратный корень:

$v_3 = \sqrt{1000} \text{ м/с} = \sqrt{100 \cdot 10} \text{ м/с} = 10\sqrt{10} \text{ м/с}$

Вычислим примерное значение:

$v_3 \approx 10 \cdot 3.162 \approx 31.62 \text{ м/с}$

Для сравнения, переведём результат обратно в км/ч:

$v_3 = 10\sqrt{10} \text{ м/с} = 10\sqrt{10} \cdot 3.6 \text{ км/ч} = 36\sqrt{10} \text{ км/ч} \approx 113.8 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость автомобиля в момент, когда он проезжал мимо берёзы, была равна $10\sqrt{10}$ м/с, что примерно составляет $31.62$ м/с или $113.8$ км/ч.