Номер 2, страница 206, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 2, страница 206.

Условие.

2. Два автомобиля едут по кольцевому шоссе с различными скоростями. Изобразите траекторию второго автомобиля в системе отсчёта, связанной с первым автомобилем, за промежуток времени от встречи автомобилей до следующей встречи. Шоссе имеет форму окружности.

Решение.

Решение

Рассмотрим движение автомобилей в системе отсчета, связанной с землей (лабораторной системе отсчета). Пусть кольцевое шоссе представляет собой окружность радиуса $\text{R}$ с центром в начале координат. Положение первого и второго автомобилей в момент времени $\text{t}$ можно описать радиус-векторами $ \vec{r}_1(t) $ и $ \vec{r}_2(t) $.

Пусть автомобили движутся с постоянными угловыми скоростями $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $. В момент времени $t=0$ автомобили встречаются в одной точке. Выберем эту точку на оси Ox, тогда их координаты в начальный момент времени будут $(R, 0)$. В произвольный момент времени $\text{t}$ их координаты будут:

Первый автомобиль: $ x_1(t) = R \cos(\omega_1 t) $, $ y_1(t) = R \sin(\omega_1 t) $.

Второй автомобиль: $ x_2(t) = R \cos(\omega_2 t) $, $ y_2(t) = R \sin(\omega_2 t) $.

Теперь перейдем в систему отсчета, связанную с первым автомобилем. Положение второго автомобиля относительно первого в этой системе отсчета (если ее оси параллельны осям лабораторной системы) описывается радиус-вектором $ \vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 $. Его компоненты:

$ x_{21}(t) = x_2(t) - x_1(t) = R(\cos(\omega_2 t) - \cos(\omega_1 t)) $

$ y_{21}(t) = y_2(t) - y_1(t) = R(\sin(\omega_2 t) - \sin(\omega_1 t)) $

Система отсчета, "связанная с первым автомобилем", не только движется поступательно, но и вращается вместе с ним. Чтобы получить траекторию в такой системе отсчета, нужно повернуть полученный вектор $ \vec{r}_{21} $ на угол $ -\omega_1 t $. Пусть координаты второго автомобиля в этой вращающейся системе отсчета будут $(x', y')$.

$ x' = x_{21} \cos(\omega_1 t) + y_{21} \sin(\omega_1 t) $

$ y' = -x_{21} \sin(\omega_1 t) + y_{21} \cos(\omega_1 t) $

Подставим выражения для $ x_{21} $ и $ y_{21} $:

$ x' = R(\cos(\omega_2 t) - \cos(\omega_1 t))\cos(\omega_1 t) + R(\sin(\omega_2 t) - \sin(\omega_1 t))\sin(\omega_1 t) $

$ x' = R(\cos(\omega_2 t)\cos(\omega_1 t) - \cos^2(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)\sin(\omega_1 t) - \sin^2(\omega_1 t)) $

$ x' = R((\cos(\omega_2 t)\cos(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)\sin(\omega_1 t)) - (\cos^2(\omega_1 t) + \sin^2(\omega_1 t))) $

Используя тригонометрические тождества, получаем:

$ x'(t) = R(\cos(\omega_2 t - \omega_1 t) - 1) $

Аналогично для $y'$:

$ y' = -R(\cos(\omega_2 t) - \cos(\omega_1 t))\sin(\omega_1 t) + R(\sin(\omega_2 t) - \sin(\omega_1 t))\cos(\omega_1 t) $

$ y' = R(-\cos(\omega_2 t)\sin(\omega_1 t) + \cos(\omega_1 t)\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)\cos(\omega_1 t) - \sin(\omega_1 t)\cos(\omega_1 t)) $

$ y' = R(\sin(\omega_2 t)\cos(\omega_1 t) - \cos(\omega_2 t)\sin(\omega_1 t)) $

$ y'(t) = R\sin(\omega_2 t - \omega_1 t) $

Обозначим относительную угловую скорость $ \omega_{отн} = \omega_2 - \omega_1 $. Тогда параметрические уравнения траектории второго автомобиля в системе отсчета первого имеют вид:

$ x'(t) = R(\cos(\omega_{отн}t) - 1) $

$ y'(t) = R\sin(\omega_{отн}t) $

Чтобы определить форму траектории, выразим косинус и синус и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \cos(\omega_{отн}t) = \frac{x'}{R} + 1 $

$ \sin(\omega_{отн}t) = \frac{y'}{R} $

$ \cos^2(\omega_{отн}t) + \sin^2(\omega_{отн}t) = 1 \implies (\frac{x'}{R} + 1)^2 + (\frac{y'}{R})^2 = 1 $

$ (x' + R)^2 + (y')^2 = R^2 $

Это уравнение окружности с радиусом $\text{R}$ и центром в точке $(-R, 0)$. В нашей вращающейся системе отсчета первый автомобиль находится в начале координат $(0, 0)$, а ось $x'$ направлена от центра шоссе к первому автомобилю. Следовательно, центр траектории $(-R, 0)$ совпадает с центром самого шоссе.

Промежуток времени от встречи до следующей встречи соответствует полному обороту второго автомобиля относительно первого. Встреча происходит, когда второй автомобиль находится в начале координат $(0,0)$ системы отсчета первого. Это происходит при $ t=0 $ и в моменты времени $\text{T}$, когда $ \omega_{отн}T = 2\pi k $ для целого $\text{k}$. Следующая встреча ($k=1$) произойдет через время $ T = \frac{2\pi}{|\omega_{отн}|} = \frac{2\pi}{|\omega_2 - \omega_1|} $. За это время второй автомобиль опишет полную окружность.

Таким образом, в системе отсчета, связанной с первым автомобилем, второй автомобиль движется по окружности, радиус которой равен радиусу шоссе. Сам первый автомобиль находится на этой окружности.

Ответ:

Траектория второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем, представляет собой окружность. Радиус этой окружности равен радиусу кольцевого шоссе. Первый автомобиль (точка отсчета) находится на этой окружности. Движение второго автомобиля по этой траектории начинается в точке, где находится первый автомобиль (в момент встречи), и заканчивается в той же точке (в момент следующей встречи), завершив полный оборот.