Номер 3, страница 207, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение - номер 3, страница 207.

Условие.

3. Вездеход проехал некоторое расстояние по равнине, потом некоторое время ехал в гору и через 3,5 ч после начала движения вернулся по тому же пути. По равнине вездеход ехал со скоростью 40 км/ч, на подъёме — со скоростью 20 км/ч, а на спуске — со скоростью 60 км/ч. Весь пройденный вездеходом путь равен 120 км. Сколько времени он ехал по равнине?

Решение.

Дано:

Общее время движения, $t_{общ} = 3,5$ ч

Скорость по равнине, $v_{р} = 40$ км/ч

Скорость на подъёме, $v_{под} = 20$ км/ч

Скорость на спуске, $v_{сп} = 60$ км/ч

Весь пройденный путь, $S_{общ} = 120$ км

Найти:

Время движения по равнине, $t_{р}$

Решение:

Пусть $S_{р}$ – расстояние, которое вездеход проехал по равнине в одну сторону, а $S_{м}$ – расстояние, которое он проехал по горной местности в одну сторону (подъём).

Весь пройденный путь $S_{общ}$ складывается из пути туда и обратно. Путь в одну сторону равен $S_{р} + S_{м}$.

Следовательно, $S_{общ} = 2 \cdot (S_{р} + S_{м})$.

Подставим известные значения:

$120 = 2 \cdot (S_{р} + S_{м})$

$S_{р} + S_{м} = 60$ км (1)

Общее время движения $t_{общ}$ складывается из времени движения по равнине туда и обратно, времени на подъём и времени на спуск.

Время движения по равнине в одну сторону: $t_{р1} = \frac{S_{р}}{v_{р}} = \frac{S_{р}}{40}$.

Время движения по равнине обратно: $t_{р2} = \frac{S_{р}}{v_{р}} = \frac{S_{р}}{40}$.

Время на подъём: $t_{под} = \frac{S_{м}}{v_{под}} = \frac{S_{м}}{20}$.

Время на спуск: $t_{сп} = \frac{S_{м}}{v_{сп}} = \frac{S_{м}}{60}$.

Суммарное время движения составляет:

$t_{общ} = t_{р1} + t_{р2} + t_{под} + t_{сп}$

$3,5 = \frac{S_{р}}{40} + \frac{S_{р}}{40} + \frac{S_{м}}{20} + \frac{S_{м}}{60}$

$3,5 = \frac{2S_{р}}{40} + S_{м} \cdot (\frac{1}{20} + \frac{1}{60})$

$3,5 = \frac{S_{р}}{20} + S_{м} \cdot (\frac{3+1}{60})$

$3,5 = \frac{S_{р}}{20} + \frac{4S_{м}}{60}$

$3,5 = \frac{S_{р}}{20} + \frac{S_{м}}{15}$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} S_{р} + S_{м} = 60 \\ \frac{S_{р}}{20} + \frac{S_{м}}{15} = 3,5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $S_{м}$: $S_{м} = 60 - S_{р}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{S_{р}}{20} + \frac{60 - S_{р}}{15} = 3,5$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 20 и 15, то есть на 60:

$60 \cdot \frac{S_{р}}{20} + 60 \cdot \frac{60 - S_{р}}{15} = 3,5 \cdot 60$

$3S_{р} + 4(60 - S_{р}) = 210$

$3S_{р} + 240 - 4S_{р} = 210$

$240 - S_{р} = 210$

$S_{р} = 240 - 210 = 30$ км.

Теперь найдем искомое время, которое вездеход ехал по равнине. Это время складывается из времени движения по равнине туда и обратно.

Общее время движения по равнине $t_{р} = t_{р1} + t_{р2} = \frac{S_{р}}{v_{р}} + \frac{S_{р}}{v_{р}} = \frac{2S_{р}}{v_{р}}$.

$t_{р} = \frac{2 \cdot 30}{40} = \frac{60}{40} = 1,5$ ч.

Ответ: вездеход ехал по равнине 1,5 часа.