Номер 3, страница 207, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 3, страница 207.

Условие.

3. Два товарных состава едут навстречу по параллельным путям со скоростью 72 км/ч. Длины составов равны. Один из поездов начинает тормозить в момент, когда локомотивы поездов оказались рядом, и останавливается, когда оказываются рядом последние вагоны поездов. Время торможения равно 1 мин. Какова длина каждого поезда? При торможении поезд двигался с постоянным ускорением.

Решение.

Дано

Скорость каждого состава, $v = 72$ км/ч.

Длины составов равны, $L_1 = L_2 = L$.

Время торможения, $t_{торм} = 1$ мин.

Конечная скорость тормозящего поезда, $v_к = 0$ м/с.

Перевод в систему СИ:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.

$t_{торм} = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

Найти:

Длину каждого поезда, $\text{L}$.

Решение

Рассмотрим движение поездов в системе отсчета, связанной с землей. Направим ось ОХ в сторону движения первого поезда (который движется с постоянной скоростью). Второй поезд движется навстречу, то есть в отрицательном направлении оси ОХ, и тормозит.

В начальный момент времени ($t=0$) локомотивы поездов находятся в одной точке, которую примем за начало координат ($x_0=0$).

Первый поезд движется равномерно. Координата его последнего вагона в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$x_1(t) = v \cdot t - L$

Второй поезд начинает тормозить с постоянным ускорением $\text{a}$. Его начальная скорость равна $-v$. Координата его последнего вагона в момент времени $\text{t}$ описывается уравнением для равноускоренного движения:

$x_2(t) = -v \cdot t + \frac{at^2}{2} + L$

По условию, второй поезд останавливается ($v_к=0$) за время $t_{торм}$. Найдем его ускорение. Формула скорости для равноускоренного движения:

$v_к = v_0 + at_{торм}$

Подставляем наши значения (начальная скорость $v_0 = -v$, конечная $v_к = 0$):

$0 = -v + a \cdot t_{торм}$

Отсюда ускорение $\text{a}$ равно:

$a = \frac{v}{t_{торм}}$

В момент полной остановки второго поезда (в момент времени $t = t_{торм}$) их последние вагоны оказываются рядом. Это означает, что их координаты равны: $x_1(t_{торм}) = x_2(t_{торм})$.

$v \cdot t_{торм} - L = -v \cdot t_{торм} + \frac{a \cdot t_{торм}^2}{2} + L$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $\text{L}$:

$2L = 2v \cdot t_{торм} - \frac{a \cdot t_{торм}^2}{2}$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для ускорения $a = \frac{v}{t_{торм}}$:

$2L = 2v \cdot t_{торм} - \frac{(\frac{v}{t_{торм}}) \cdot t_{торм}^2}{2}$

$2L = 2v \cdot t_{торм} - \frac{v \cdot t_{торм}}{2}$

$2L = \frac{3}{2}v \cdot t_{торм}$

Выразим искомую длину поезда $\text{L}$:

$L = \frac{3}{4}v \cdot t_{торм}$

Теперь подставим числовые значения из системы СИ:

$L = \frac{3}{4} \cdot 20 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 60 \text{ с} = 3 \cdot 5 \cdot 60 \text{ м} = 900 \text{ м}$.

Ответ: длина каждого поезда равна 900 м.