Номер 2, страница 208, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы упругости - номер 2, страница 208.

Условие.

2. Шар массой 1 кг, подвешенный к двум последовательно соединённым различным пружинам, покоится. Суммарное удлинение пружин равно 5 см. Какой может быть жёсткость каждой из пружин?

Решение.

Дано:

Масса шара, $m = 1$ кг
Суммарное удлинение пружин, $\Delta l_{общ} = 5$ см
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

$m = 1$ кг
$\Delta l_{общ} = 5 \text{ см} = 0.05$ м

Найти:

Жесткости пружин $k_1$ и $k_2$

Решение:

Поскольку шар находится в состоянии покоя, сила тяжести, действующая на него, уравновешена суммарной силой упругости, создаваемой пружинами. Сила тяжести равна:

$F_{тяж} = m \cdot g = 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 10$ Н.

Пружины соединены последовательно. При таком соединении сила натяжения одинакова для обеих пружин и равна весу шара:

$F_1 = F_2 = F_{тяж} = 10$ Н.

Общее удлинение системы при последовательном соединении равно сумме удлинений каждой пружины:

$\Delta l_{общ} = \Delta l_1 + \Delta l_2$.

Согласно закону Гука, удлинение каждой пружины можно найти как $\Delta l_i = \frac{F_i}{k_i}$. Подставим это в предыдущую формулу:

$\Delta l_{общ} = \frac{F_1}{k_1} + \frac{F_2}{k_2}$.

Так как $F_1 = F_2 = mg$, получаем:

$\Delta l_{общ} = \frac{mg}{k_1} + \frac{mg}{k_2} = mg \cdot (\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2})$.

Из этого уравнения можно выразить соотношение между жесткостями $k_1$ и $k_2$:

$\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{\Delta l_{общ}}{mg}$.

Также можно найти общую (эквивалентную) жесткость системы $k_{общ}$ из закона Гука для всей системы:

$k_{общ} = \frac{F_{тяж}}{\Delta l_{общ}} = \frac{10 \text{ Н}}{0.05 \text{ м}} = 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Для последовательного соединения пружин общая жесткость связана с жесткостями отдельных пружин соотношением:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.

Таким образом, мы имеем уравнение с двумя неизвестными:

$\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{1}{200}$.

Это уравнение имеет бесконечное множество решений для пар $(k_1, k_2)$. По условию задачи пружины "различные", значит $k_1 \neq k_2$. Также жесткость не может быть отрицательной, поэтому $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$. Из полученного соотношения следует, что $\frac{1}{k_1} < \frac{1}{200}$, а значит $k_1 > 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Аналогично, $k_2 > 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Выразим $k_2$ через $k_1$:

$\frac{1}{k_2} = \frac{1}{200} - \frac{1}{k_1} = \frac{k_1 - 200}{200 \cdot k_1} \implies k_2 = \frac{200 \cdot k_1}{k_1 - 200}$.

Решением является любая пара различных чисел $(k_1, k_2)$, которые удовлетворяют этому соотношению, где $k_1 > 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Например, если выбрать $k_1 = 300 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$, то жесткость второй пружины будет:

$k_2 = \frac{200 \cdot 300}{300 - 200} = \frac{60000}{100} = 600 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Эта пара значений $(300 \frac{\text{Н}}{\text{м}}; 600 \frac{\text{Н}}{\text{м}})$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Жесткости пружин $k_1$ и $k_2$ связаны соотношением $\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{1}{200} \frac{\text{м}}{\text{Н}}$. При этом пружины должны быть различными ($k_1 \neq k_2$), и жесткость каждой из них должна быть больше $200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Например, жесткости могут быть равны $k_1 = 300 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ и $k_2 = 600 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.