Глава I, страница 203, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Задания для проектно-исследовательской деятельности - страница 203.

Условие.

Глава I. Кинематика

Циклоида

Цель: изготовить установку для записи траектории точки катящегося колеса.

На рисунке 1 изображено устройство, позволяющее записывать траектории различных точек катящегося без проскальзывания колеса. Эти траектории представляют собой кривые, называемые циклоидами.

Для изготовления данного устройства можно использовать пустую консервную банку, стержень шариковой ручки, резиновое кольцо (чтобы прижать стержень к листу бумаги). Отверстия для стержня в обоих днищах банки удобно сделать с помощью гвоздя и молотка.

Сравните траектории точек, находящихся на разных расстояниях от оси колеса.

Предложите другие устройства, с помощью которых можно записывать траекторию точки при её движении.

Рис. 1

Решение.

Сравните траектории точек, находящихся на разных расстояниях от оси колеса.

Форма траектории точки, связанной с катящимся без проскальзывания колесом (цилиндром, банкой), зависит от того, где эта точка расположена относительно оси вращения. Пусть $\text{R}$ — радиус колеса, а $\text{r}$ — расстояние от отслеживаемой точки до центра (оси) колеса. Возможны три различных типа траекторий, называемых циклоидальными кривыми или трохоидами.

1. Точка лежит на ободе колеса ($r = R$). В этом случае траектория называется обыкновенной циклоидой. Она состоит из последовательности одинаковых арок. В нижней точке каждой арки (в так называемом каспе) точка касается поверхности, по которой катится колесо, и её мгновенная скорость равна нулю. Максимальная высота, на которую поднимается точка, равна диаметру колеса, то есть $2R$.

2. Точка лежит внутри колеса ($r < R$). Траектория в этом случае называется укороченной циклоидой. Это плавная, волнообразная кривая, которая никогда не касается поверхности качения. Точка на такой траектории никогда не останавливается, её скорость всегда больше нуля. Минимальная высота точки над поверхностью равна $R - r$, а максимальная — $R + r$.

3. Точка лежит вне колеса ($r > R$). Такая траектория называется удлинённой циклоидой. Характерной особенностью этой кривой является наличие петель. В процессе движения точка опускается ниже уровня поверхности, по которой катится колесо, описывая петлю при каждом обороте. Максимальная высота точки над поверхностью в этом случае равна $R + r$.

Таким образом, форма траектории кардинально меняется в зависимости от соотношения между радиусом колеса $\text{R}$ и расстоянием $\text{r}$ до точки от оси: от петель (при $r>R$) к гладкой волне (при $r<R$), проходя через случай арок с остриями (при $r=R$).

Ответ: Если точка находится на ободе ($r=R$), её траектория — это цепь арок, касающихся земли в острых точках (каспах). Если точка внутри обода ($r<R$), траектория — плавная волнистая линия, не касающаяся земли. Если точка вне обода ($r>R$), траектория представляет собой линию с петлями.

Предложите другие устройства, с помощью которых можно записывать траекторию точки при её движении.

Кроме описанного в задаче простого механического устройства, существует множество других методов и приспособлений для записи траекторий. Вот некоторые из них:

1. Фотография с длительной выдержкой. К движущемуся объекту (например, к маятнику или брошенному мячу) прикрепляют маленький источник света (светодиод). Движение снимают в тёмной комнате на фотокамеру, установленную на штатив в режим длительной выдержки. На полученной фотографии светодиод оставит яркий след, который и будет являться точным изображением его траектории.

2. Компьютерный видеоанализ. Движение объекта записывается на видеокамеру (подойдет даже камера смартфона). Затем видеофайл анализируется с помощью специального программного обеспечения (например, бесплатной программы Tracker). В программе можно отметить положение интересующей точки в каждом кадре, после чего программа сама построит траекторию движения, а также графики зависимости координат, скорости и ускорения от времени. Этот метод очень универсален и точен.

3. Маятник с песком (гармонограф). Для записи колебательных движений можно использовать маятник, к которому прикреплена небольшая воронка с песком. При колебаниях песок высыпается тонкой струйкой на поверхность под маятником, рисуя его траекторию. Если конструкция позволяет маятнику колебаться одновременно в двух перпендикулярных направлениях, можно получить сложные и красивые фигуры Лиссажу.

4. Использование датчиков положения. К движущемуся телу можно прикрепить современный электронный датчик. Для отслеживания объектов на улице используется GPS-трекер. В лабораторных условиях применяют ультразвуковые или инфракрасные системы позиционирования, которые с высокой точностью и частотой определяют координаты объекта в пространстве. Данные с датчика передаются на компьютер, который строит траекторию в реальном времени.

Ответ: Для записи траектории можно использовать: фотосъемку движущегося источника света с длинной выдержкой; запись движения на видео с последующим компьютерным анализом; механические устройства, такие как маятник с песком; современные электронные датчики положения (GPS, ультразвуковые и др.).