Номер 1, страница 210, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 1, страница 210.

Условие.

1. Груз массой 15 кг прикреплён лёгким эластичным шнуром длиной 30 м к мощной перекладине моста, находящейся на высоте 45 м над водой. Груз начинает свободно падать и, едва коснувшись поверхности воды, начинает подниматься. Чему равна жёсткость шнура? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, а для силы упругости жгута справедлив закон Гука.

Решение.

Дано:

Масса груза, $m = 15$ кг
Длина шнура, $L = 30$ м
Высота перекладины над водой, $H = 45$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Жёсткость шнура, $\text{k}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения полной механической энергии. Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия замкнутой системы «груз-шнур-Земля» сохраняется.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды.

В начальный момент времени (состояние 1), когда груз находится у перекладины моста, его скорость равна нулю. Полная механическая энергия системы $E_1$ равна потенциальной энергии груза, так как кинетическая энергия и энергия упругой деформации шнура равны нулю.

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} + E_{упр1} = m \cdot g \cdot H + 0 + 0 = m \cdot g \cdot H$

В конечный момент времени (состояние 2), когда груз касается поверхности воды, он на мгновение останавливается, поэтому его скорость также равна нулю. Высота груза над нулевым уровнем равна нулю. Полная механическая энергия системы $E_2$ в этот момент состоит только из потенциальной энергии растянутого шнура.

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} + E_{упр2} = 0 + 0 + \frac{k \cdot (\Delta L)^2}{2} = \frac{k \cdot (\Delta L)^2}{2}$

Растяжение шнура $\Delta L$ равно разности между общей высотой падения $\text{H}$ и начальной длиной шнура $\text{L}$:

$\Delta L = H - L = 45 \text{ м} - 30 \text{ м} = 15 \text{ м}$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна конечной энергии:

$E_1 = E_2$

$m \cdot g \cdot H = \frac{k \cdot (\Delta L)^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую жёсткость шнура $\text{k}$:

$k = \frac{2 \cdot m \cdot g \cdot H}{(\Delta L)^2}$

Подставим числовые значения и произведём расчёт:

$k = \frac{2 \cdot 15 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 45 \text{ м}}{(15 \text{ м})^2} = \frac{13230}{225} = 58,8 \text{ Н/м}$

Ответ: жëсткость шнура равна $58,8$ Н/м.