Номер 6, страница 47, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 48. Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами - номер 6, страница 47.

Условие.

6. Точечный источник находится на расстоянии $\text{a}$ от главной плоскости тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $\text{F}$ и оптической силой $\text{D}$. Заполните таблицу, определив неизвестные величины. Здесь $\text{b}$ – расстояние от главной плоскости линзы до изображения источника.

№ линзы | $\text{F}$, см | $\text{D}$, дптр | $\text{a}$, см | $\text{b}$, см | $(a + b)$, см

1 | | 50 | 3 | |

2 | 30 | | 20 | |

3 | 20 | | | 60 |

4 | 3 | | | -6 |

5* | | 20 | | | 20

6* | 3 | | | | -4

Решение.

Для решения задачи будем использовать формулу тонкой линзы и формулу для оптической силы линзы:
Формула тонкой линзы: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$, где $a$ — расстояние от источника до линзы, $b$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.
Оптическая сила линзы: $D = \frac{1}{F}$, где $F$ должно быть выражено в метрах, а $D$ измеряется в диоптриях (дптр).

№ линзы 1
Дано:
$D = 50$ дптр
$a = 3$ см
Перевод в СИ:
$a = 0.03$ м
Найти:
$F, b, (a + b)$
Решение:
1. Найдем фокусное расстояние $F$ через оптическую силу $D$:
$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{50 \text{ дптр}} = 0.02$ м.
Переведем в сантиметры: $F = 0.02 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 2$ см.
2. Используем формулу тонкой линзы для нахождения $b$ (все величины в см):
$\frac{1}{b} = \frac{1}{F} - \frac{1}{a} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
$b = 6$ см.
3. Найдем сумму $(a + b)$:
$a + b = 3 \text{ см} + 6 \text{ см} = 9$ см.
Ответ: $F = 2$ см, $b = 6$ см, $(a+b) = 9$ см.

№ линзы 2
Дано:
$F = 30$ см
$a = 20$ см
Перевод в СИ:
$F = 0.3$ м
$a = 0.2$ м
Найти:
$D, b, (a + b)$
Решение:
1. Найдем оптическую силу $D$ (F в метрах):
$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.3 \text{ м}} = \frac{10}{3} \text{ дптр} \approx 3.33$ дптр.
2. Используем формулу тонкой линзы для нахождения $b$ (в см):
$\frac{1}{b} = \frac{1}{F} - \frac{1}{a} = \frac{1}{30} - \frac{1}{20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$
$b = -60$ см. (Изображение мнимое, так как $a < F$)
3. Найдем сумму $(a + b)$:
$a + b = 20 \text{ см} + (-60 \text{ см}) = -40$ см.
Ответ: $D \approx 3.33$ дптр, $b = -60$ см, $(a+b) = -40$ см.

№ линзы 3
Дано:
$F = 20$ см
$b = 60$ см
Перевод в СИ:
$F = 0.2$ м
$b = 0.6$ м
Найти:
$D, a, (a + b)$
Решение:
1. Найдем оптическую силу $D$ (F в метрах):
$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.2 \text{ м}} = 5$ дптр.
2. Используем формулу тонкой линзы для нахождения $a$ (в см):
$\frac{1}{a} = \frac{1}{F} - \frac{1}{b} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3 - 1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$
$a = 30$ см.
3. Найдем сумму $(a + b)$:
$a + b = 30 \text{ см} + 60 \text{ см} = 90$ см.
Ответ: $D = 5$ дптр, $a = 30$ см, $(a+b) = 90$ см.

№ линзы 4
Дано:
$F = 3$ см
$b = -6$ см
Перевод в СИ:
$F = 0.03$ м
$b = -0.06$ м
Найти:
$D, a, (a + b)$
Решение:
1. Найдем оптическую силу $D$ (F в метрах):
$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} = \frac{100}{3} \text{ дптр} \approx 33.33$ дптр.
2. Используем формулу тонкой линзы для нахождения $a$ (в см):
$\frac{1}{a} = \frac{1}{F} - \frac{1}{b} = \frac{1}{3} - \frac{1}{-6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$a = 2$ см.
3. Найдем сумму $(a + b)$:
$a + b = 2 \text{ см} + (-6 \text{ см}) = -4$ см.
Ответ: $D \approx 33.33$ дптр, $a = 2$ см, $(a+b) = -4$ см.

№ линзы 5*
Дано:
$D = 20$ дптр
$(a + b) = 20$ см
Перевод в СИ:
$(a + b) = 0.2$ м
Найти:
$F, a, b$
Решение:
1. Найдем фокусное расстояние $F$ (в метрах), а затем переведем в см:
$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{20 \text{ дптр}} = 0.05$ м $= 5$ см.
2. Решим систему уравнений (в см):
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{5}$
$a + b = 20 \Rightarrow b = 20 - a$
Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{20-a} = \frac{1}{5}$
$\frac{20-a+a}{a(20-a)} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{20}{20a-a^2} = \frac{1}{5}$
$100 = 20a - a^2 \Rightarrow a^2 - 20a + 100 = 0$
$(a-10)^2 = 0 \Rightarrow a = 10$ см.
3. Найдем $b$:
$b = 20 - a = 20 - 10 = 10$ см.
Ответ: $F = 5$ см, $a = 10$ см, $b = 10$ см.

№ линзы 6*
Дано:
$F = 3$ см
$(a + b) = -4$ см
Перевод в СИ:
$F = 0.03$ м
$(a + b) = -0.04$ м
Найти:
$D, a, b$
Решение:
1. Найдем оптическую силу $D$ (F в метрах):
$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} = \frac{100}{3} \text{ дптр} \approx 33.33$ дптр.
2. Решим систему уравнений (в см):
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3}$
$a + b = -4 \Rightarrow b = -4 - a$
Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{-4-a} = \frac{1}{3}$
$\frac{-4-a+a}{a(-4-a)} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{-4}{-4a-a^2} = \frac{1}{3}$
$-12 = -4a - a^2 \Rightarrow a^2 + 4a - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $a_1=2$ и $a_2=-6$. Так как источник реальный, расстояние до него $a$ должно быть положительным. Выбираем $a = 2$ см.
3. Найдем $b$:
$b = -4 - a = -4 - 2 = -6$ см.
Ответ: $D \approx 33.33$ дптр, $a = 2$ см, $b = -6$ см.