Номер 9, страница 56, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 50. Глаз и зрение. Оптические приборы - номер 9, страница 56.

Условие.

9. С помощью фотоаппарата, оптическая сила объектива которого $D = 25 \text{ дптр}$, нужно сфотографировать здание длиной $L = 25 \text{ м}$ и высотой $H = 15 \text{ м}$. Кадр имеет размеры $24 \times 36 \text{ мм}$. Определите минимальное расстояние от фотоаппарата до здания.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Оптическая сила объектива $D = 25$ дптр
Длина здания $L = 25$ м
Высота здания $H = 15$ м
Размеры кадра $l' \times h' = 36 \times 24$ мм

Перевод в систему СИ:
$l' = 36 \text{ мм} = 0.036 \text{ м}$
$h' = 24 \text{ мм} = 0.024 \text{ м}$

Найти:

Минимальное расстояние от фотоаппарата до здания $d_{min}$

Решение:

Чтобы сфотографировать здание целиком, его изображение должно полностью помещаться на светочувствительном элементе (в кадре). Для этого необходимо, чтобы изображение длины здания было не больше длины кадра, а изображение высоты здания — не больше высоты кадра. Будем считать, что фотоаппарат расположен горизонтально, тогда длина здания $L$ проецируется на длинную сторону кадра $l'$, а высота $H$ — на короткую $h'$.

Условия, при которых изображение поместится в кадре:
$L_{из} \le l'$
$H_{из} \le h'$

Линейное увеличение $k$ объектива определяется как отношение размера изображения к размеру объекта. Оно одинаково для всех направлений:$k = \frac{L_{из}}{L} = \frac{H_{из}}{H}$

Из этих соотношений получаем два ограничения на величину увеличения:
$k \le \frac{l'}{L}$
$k \le \frac{h'}{H}$

Подставим числовые значения, чтобы найти, какое из ограничений является более строгим:
$k \le \frac{0.036 \text{ м}}{25 \text{ м}} = 0.00144$
$k \le \frac{0.024 \text{ м}}{15 \text{ м}} = 0.0016$

Чтобы выполнялись оба условия, увеличение должно быть не больше меньшего из двух значений: $k \le 0.00144$. Минимальное расстояние до здания $d_{min}$ соответствует максимально возможному увеличению, при котором здание еще помещается в кадр. Следовательно, для расчёта мы принимаем $k = 0.00144$. Это означает, что изображение здания будет вписано в кадр по длине.

Увеличение линзы также связано с расстоянием от объекта до линзы $d$ и расстоянием от линзы до изображения $f$:
$k = \frac{f}{d}$

Эти расстояния, в свою очередь, связаны с оптической силой линзы $D$ через формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $\frac{f}{d} = \frac{l'}{L}$
2) $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$

Из первого уравнения выразим $f$:
$f = d \cdot \frac{l'}{L}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{d \cdot \frac{l'}{L}} = D$
$\frac{1}{d} \cdot (1 + \frac{L}{l'}) = D$

Отсюда выразим искомое расстояние $d$ (которое в данном случае будет минимальным):
$d = d_{min} = \frac{1}{D} (1 + \frac{L}{l'})$

Подставим числовые значения:
$d_{min} = \frac{1}{25 \text{ дптр}} (1 + \frac{25 \text{ м}}{0.036 \text{ м}}) = 0.04 \text{ м} \cdot (1 + \frac{25000}{36}) = 0.04 \text{ м} \cdot (1 + \frac{6250}{9})$
$d_{min} = 0.04 \cdot (\frac{9 + 6250}{9}) = 0.04 \cdot \frac{6259}{9} \approx 0.04 \cdot 695.44 \approx 27.817... \text{ м}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: минимальное расстояние от фотоаппарата до здания составляет приблизительно $27.8$ м.