Номер 3, страница 17 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное движение. Упражнения - номер 3, страница 17.

Условие.

3. Закон движения тела по оси X имеет вид: $x(t) = 3 + 5 \cdot t + 3 \cdot t^2$, где координату $\text{x}$ измеряют в метрах, а $\text{t}$ — в секундах. Определите:

а) начальную координату тела;

б) значения начальной скорости и ускорения тела;

в) координаты тела в моменты времени 1, 2 и 5 с;

г) момент времени, когда координата $\text{x}$ будет равна 71 м;

д) путь за 6 с.

Решение.

Дано:

Закон движения тела: $x(t) = 3 + 5t + 3t^2$ (м)

Найти:

а) $x_0$ - ?

б) $v_0$, $\text{a}$ - ?

в) $x(1)$, $x(2)$, $x(5)$ - ?

г) $\text{t}$, при котором $x = 71$ м - ?

д) $\text{S}$ за 6 с - ?

Решение:

Общий вид уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Сравнивая это уравнение с данным в задаче $x(t) = 3 + 5t + 3t^2$, мы можем определить начальные параметры движения.

а)

Начальная координата $x_0$ – это координата тела в момент времени $t=0$. В уравнении это свободный член. Из сравнения уравнений видно, что $x_0 = 3$ м.

Ответ: начальная координата тела равна 3 м.

б)

Начальная скорость $v_0$ – это коэффициент при $\text{t}$ в первой степени. Из сравнения уравнений: $v_0 = 5$ м/с. Ускорение $\text{a}$ связано с коэффициентом при $t^2$. Из сравнения уравнений: $\frac{a}{2} = 3$, откуда $a = 2 \cdot 3 = 6$ м/с².

Также можно найти скорость и ускорение через производные. Скорость – первая производная координаты по времени: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(3 + 5t + 3t^2) = 5 + 6t$. Начальная скорость $v_0 = v(0) = 5 + 6 \cdot 0 = 5$ м/с. Ускорение – первая производная скорости по времени: $a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(5 + 6t) = 6$ м/с².

Ответ: начальная скорость равна 5 м/с, ускорение равно 6 м/с².

в)

Для нахождения координат тела в заданные моменты времени подставим значения $\text{t}$ в уравнение движения:

При $t = 1$ с: $x(1) = 3 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 3 + 5 + 3 = 11$ м.

При $t = 2$ с: $x(2) = 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 3 + 10 + 12 = 25$ м.

При $t = 5$ с: $x(5) = 3 + 5 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 = 3 + 25 + 75 = 103$ м.

Ответ: в моменты времени 1, 2 и 5 с координаты тела равны 11 м, 25 м и 103 м соответственно.

г)

Чтобы найти момент времени, когда координата $\text{x}$ будет равна 71 м, подставим это значение в уравнение движения и решим полученное квадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$71 = 3 + 5t + 3t^2$

$3t^2 + 5t + 3 - 71 = 0$

$3t^2 + 5t - 68 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-68) = 25 + 816 = 841$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 29}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$ с.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 29}{2 \cdot 3} = \frac{-34}{6} \approx -5.67$ с.

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: координата тела будет равна 71 м в момент времени $t = 4$ с.

д)

Путь, пройденный телом за 6 с, – это разность между конечной и начальной координатами, если тело двигалось в одном направлении. Найдем зависимость скорости от времени: $v(t) = v_0 + at = 5 + 6t$. Так как начальная скорость $v_0 = 5$ м/с положительна и ускорение $a = 6$ м/с² тоже положительно, то скорость тела при $t \ge 0$ всегда будет положительной. Это означает, что тело движется без изменения направления.

Следовательно, пройденный путь $\text{S}$ равен изменению координаты: $S = x(6) - x(0)$.

Координата в момент времени $t=6$ с: $x(6) = 3 + 5 \cdot 6 + 3 \cdot 6^2 = 3 + 30 + 3 \cdot 36 = 3 + 30 + 108 = 141$ м.

Начальная координата $x(0) = 3$ м.

Пройденный путь: $S = 141 - 3 = 138$ м.

Ответ: за 6 с тело пройдет путь 138 м.