Номер 4, страница 114 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения. Упражнения - номер 4, страница 114.

Условие.

*4. Докажите, используя закон всемирного тяготения, что ускорение свободного падения одинаково для всех тел, находящихся на полюсе у поверхности Земли, т. е. не зависит от массы тел.

Решение.

Решение

Для доказательства воспользуемся законом всемирного тяготения и вторым законом Ньютона.

1. Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения $F_{тяг}$, действующая на любое тело массой $\text{m}$ со стороны Земли, определяется формулой:

$F_{тяг} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, а $\text{R}$ — расстояние между центром Земли и телом. Для тела, находящегося у поверхности Земли на полюсе, это расстояние можно считать равным радиусу Земли $R_З$.

2. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение ($F = ma$). В данном случае сила тяжести $F_{тяж}$ сообщает телу ускорение свободного падения $\text{g}$. Таким образом:

$F_{тяж} = m \cdot g$

3. Сила тяжести, действующая на тело у поверхности Земли, и есть сила гравитационного притяжения (на полюсе центробежной силой, возникающей из-за вращения Земли, можно пренебречь, так как она равна нулю). Поэтому мы можем приравнять выражения для этих сил:

$F_{тяг} = F_{тяж}$

$G \frac{M \cdot m}{R_З^2} = m \cdot g$

4. Чтобы найти выражение для ускорения свободного падения $\text{g}$, разделим обе части этого равенства на массу тела $\text{m}$:

$g = G \frac{M}{R_З^2}$

Как видно из полученной формулы, ускорение свободного падения $\text{g}$ зависит только от универсальных констант (гравитационная постоянная $\text{G}$) и характеристик планеты (масса Земли $\text{M}$ и ее радиус $R_З$). Масса падающего тела $\text{m}$ в итоговую формулу не входит.

Таким образом, мы доказали, что ускорение свободного падения на полюсе у поверхности Земли одинаково для всех тел, независимо от их массы.

Ответ: Ускорение свободного падения $\text{g}$ получается из равенства силы тяжести $mg$ и силы всемирного тяготения $G \frac{M m}{R_З^2}$. После сокращения массы тела $\text{m}$ получается формула $g = G \frac{M}{R_З^2}$, которая не зависит от массы тела $\text{m}$, а определяется только массой и радиусом Земли, а также гравитационной постоянной. Следовательно, ускорение свободного падения одинаково для всех тел.