Номер 4, страница 238 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 7. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 37. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания - номер 4, страница 238.

Условие.

4. Как изменяется с течением времени электрическая энергия конденсатора колебательного контура при гармонических колебаниях в контуре?

Решение.

Решение

В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Полная энергия контура при этом остается постоянной.

Заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$ изменяется со временем по гармоническому закону. Если в начальный момент времени $t=0$ конденсатор был полностью заряжен, то зависимость заряда от времени имеет вид:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

где $q_{max}$ — максимальное (амплитудное) значение заряда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Электрическая энергия $W_C$, запасенная в конденсаторе, пропорциональна квадрату заряда на его обкладках:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

где $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Подставим в эту формулу зависимость заряда от времени, чтобы увидеть, как изменяется электрическая энергия:

$W_C(t) = \frac{(q_{max} \cos(\omega t))^2}{2C} = \frac{q_{max}^2}{2C} \cos^2(\omega t)$

Максимальное значение энергии конденсатора равно $W_{C,max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$. Тогда зависимость энергии от времени можно записать как:

$W_C(t) = W_{C,max} \cos^2(\omega t)$

Из полученного выражения видно, что:

1. Электрическая энергия конденсатора изменяется периодически, но не по синусоидальному закону, а по закону косинуса в квадрате. Это означает, что её значение всегда неотрицательно и колеблется в пределах от 0 до $W_{C,max}$.

2. Частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний заряда и тока в контуре. Это можно увидеть, применив тригонометрическую формулу $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$W_C(t) = W_{C,max} \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$

Колебания происходят с частотой $2\omega$. Следовательно, за один период колебаний заряда и тока в контуре, энергия конденсатора успевает дважды достигнуть своего максимального значения и дважды упасть до нуля.

Ответ: Электрическая энергия конденсатора изменяется с течением времени по гармоническому закону (пропорционально квадрату косинуса или синуса). Она колеблется от нуля до своего максимального значения с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний заряда и тока в контуре.