Номер 7, страница 97 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Гравитационные явления. Параграф 22. Свободное падение. Вопросы - номер 7, страница 97.

Условие.

7. Каким образом Кавендиш «взвесил Землю»? Вычислите массу Земли.

Решение.

Каким образом Кавендиш «взвесил Землю»?
Генри Кавендиш в 1798 году провёл знаменитый эксперимент, который позволил определить среднюю плотность Земли, а следовательно, и её массу. Прямое взвешивание планеты невозможно, поэтому Кавендиш пошёл другим путём: он решил измерить гравитационную постоянную $\text{G}$. Зная $\text{G}$, можно было вычислить массу Земли, используя закон всемирного тяготения.
Эксперимент Кавендиша использовал так называемые крутильные весы. Это было лёгкое коромысло с двумя маленькими свинцовыми шариками на концах, подвешенное на тонкой упругой нити. К этим шарикам подносили два больших свинцовых шара. Сила гравитационного притяжения между большими и малыми шарами заставляла коромысло поворачиваться, закручивая нить. Измерив угол закручивания нити, Кавендиш смог вычислить силу притяжения $\text{F}$ между шарами.
Зная массу шаров ($m_1$ и $m_2$) и расстояние между их центрами ($\text{r}$), он смог вычислить гравитационную постоянную $\text{G}$ из закона всемирного тяготения: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
После того как значение $\text{G}$ было определено, массу Земли ($M_З$) стало возможно вычислить. Сила тяжести, действующая на любое тело массой $\text{m}$ у поверхности Земли, равна $F = mg$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Эта же сила по закону всемирного тяготения равна $F = G \frac{M_З m}{R_З^2}$, где $R_З$ — радиус Земли. Приравняв эти два выражения, получаем формулу для массы Земли: $M_З = \frac{g R_З^2}{G}$. Таким образом, Кавендиш не «взвесил» Землю напрямую, а нашёл способ для вычисления её массы через измерение универсальной гравитационной константы.

Ответ: Кавендиш экспериментально определил значение гравитационной постоянной $\text{G}$ с помощью крутильных весов, измерив силу притяжения между шарами известной массы. Зная $\text{G}$, ускорение свободного падения $\text{g}$ и радиус Земли $R_З$, стало возможно вычислить массу Земли по формуле $M_З = \frac{g R_З^2}{G}$.

Вычислите массу Земли.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \times 1000 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

$M_З$ — масса Земли.

Решение:

Рассмотрим тело массой $\text{m}$, находящееся на поверхности Земли. На него действует сила тяжести, которая сообщает ему ускорение свободного падения $\text{g}$: $F_{тяж} = mg$.
Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между этим телом и Землей выражается формулой:
$F_G = G \frac{M_З m}{R_З^2}$
Поскольку сила тяжести и есть гравитационная сила ($F_{тяж} = F_G$), приравняем правые части этих выражений:
$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$
Сократим массу тела $\text{m}$, так как она присутствует в обеих частях уравнения:
$g = G \frac{M_З}{R_З^2}$
Выразим из этой формулы массу Земли $M_З$:
$M_З = \frac{g R_З^2}{G}$
Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:
$M_З = \frac{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot (6.4 \times 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}} = \frac{9.8 \cdot 40.96 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг}$
$M_З = \frac{401.408 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг} \approx 60.18 \times 10^{23} \text{ кг} \approx 6.0 \times 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: $M_З \approx 6.0 \times 10^{24} \text{ кг}$.