Номер 132, страница 302 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 132, страница 302.

Условие.

132. Какой радиус должен быть у небесного тела массой $\text{M}$, чтобы вторая космическая скорость для него была равна скорости света $\text{c}$? (Этот радиус называется гравитационным радиусом тела. Если тело сжать до соответствующего размера, то оно превратится в чёрную дыру.)

Решение.

Дано:

Масса небесного тела - $\text{M}$
Вторая космическая скорость - $v_{II}$
Скорость света в вакууме - $\text{c}$
Условие: $v_{II} = c$
Гравитационная постоянная - $\text{G}$

Найти:

Радиус небесного тела - $\text{R}$

Решение:

Вторая космическая скорость (также называемая скоростью убегания) для сферического небесного тела массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ определяется формулой:
$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.
По условию задачи, вторая космическая скорость для этого тела должна быть равна скорости света $\text{c}$. Запишем это условие:
$v_{II} = c$
Приравняем правые части выражений для скорости:
$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
Чтобы найти радиус $\text{R}$, нам нужно выразить его из этой формулы. Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня:
$c^2 = \left(\sqrt{\frac{2GM}{R}}\right)^2$
$c^2 = \frac{2GM}{R}$
Теперь выразим $\text{R}$. Для этого умножим обе части уравнения на $\text{R}$ и разделим на $c^2$:
$c^2 \cdot R = 2GM$
$R = \frac{2GM}{c^2}$
Полученное значение радиуса называется гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда. Если тело с массой $\text{M}$ сжать до такого радиуса, оно станет чёрной дырой.

Ответ: Радиус небесного тела должен быть равен $R = \frac{2GM}{c^2}$.