Экспериментальное исследование, страница 51 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 7. Свободные колебания пружинного и математического маятников. Вопросы - страница 51.

Условие.

Экспериментальное исследование

Соберите установку по рис. 43. Длина нити маятника A равна 1 м, а маятника B – 0,25 м. Поочерёдно отклоните маятники от положения равновесия на малый угол (не превышающий 10°) и отпустите их, предоставив самим себе.

а) Измерьте периоды колебаний маятников. Для этого найдите время 30 полных колебаний и рассчитайте промежуток времени, за который маятники совершат одно полное колебание.

б) Сравните отношение длин маятников и отношение квадратов периодов колебаний маятников.

Рис. 43

Решение.

Дано

Длина нити маятника А: $l_A = 1$ м

Длина нити маятника B: $l_B = 0.25$ м

Число полных колебаний для измерения: $N = 30$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти

а) Периоды колебаний маятников $T_A$ и $T_B$.

б) Сравнить отношение длин $\frac{l_A}{l_B}$ и отношение квадратов периодов $\frac{T_A^2}{T_B^2}$.

Решение

Данная задача представляет собой экспериментальное исследование колебаний математического маятника. Период колебаний такого маятника при малых углах отклонения определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити маятника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Поскольку провести реальный эксперимент невозможно, мы выполним теоретический расчет, который этот эксперимент должен подтвердить.

а) Измерьте периоды колебаний маятников. Для этого найдите время 30 полных колебаний и рассчитайте промежуток времени, за который маятники совершат одно полное колебание.

1. Рассчитаем теоретический период колебаний для маятника А:

$T_A = 2\pi\sqrt{\frac{l_A}{g}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{1 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \approx 6.28 \times \sqrt{0.102} \, \text{с} \approx 6.28 \times 0.32 \, \text{с} \approx 2.01 \, \text{с}$.

2. Рассчитаем теоретический период колебаний для маятника B:

$T_B = 2\pi\sqrt{\frac{l_B}{g}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.25 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \approx 6.28 \times \sqrt{0.0255} \, \text{с} \approx 6.28 \times 0.16 \, \text{с} \approx 1.005 \, \text{с}$.

3. Согласно условию, для экспериментального определения периода нужно измерить время $\text{t}$, за которое совершается $N=30$ колебаний. Период находится как $T = \frac{t}{N}$.

Время 30 колебаний для маятника А составит:

$t_A = N \times T_A = 30 \times 2.01 \, \text{с} = 60.3 \, \text{с}$.

Время 30 колебаний для маятника B составит:

$t_B = N \times T_B = 30 \times 1.005 \, \text{с} = 30.15 \, \text{с}$.

Таким образом, после измерения времени и деления его на число колебаний мы получим вычисленные выше значения периодов.

Ответ: Период колебаний маятника А равен $T_A \approx 2.01 \, \text{с}$, а период колебаний маятника B равен $T_B \approx 1.005 \, \text{с}$.

б) Сравните отношение длин маятников и отношение квадратов периодов колебаний маятников.

1. Найдем отношение длин маятников:

$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1 \, \text{м}}{0.25 \, \text{м}} = 4$.

2. Найдем отношение квадратов периодов, используя значения, полученные в пункте а):

$\frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{(2.01 \, \text{с})^2}{(1.005 \, \text{с})^2} \approx \frac{4.0401 \, \text{с}^2}{1.010025 \, \text{с}^2} \approx 4$.

3. Сравним полученные значения. Отношение длин маятников равно 4, и отношение квадратов их периодов также равно 4. Следовательно, эти отношения равны:

$\frac{l_A}{l_B} \approx \frac{T_A^2}{T_B^2}$

Это соотношение является прямым следствием формулы периода математического маятника. Если возвести обе части формулы $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ в квадрат, получим $T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$. Отсюда видно, что квадрат периода прямо пропорционален длине маятника ($T^2 \sim l$). Поэтому отношение квадратов периодов двух маятников равно отношению их длин.

Ответ: Отношение длин маятников $\frac{l_A}{l_B} = 4$. Отношение квадратов периодов колебаний $\frac{T_A^2}{T_B^2} \approx 4$. Эти два отношения равны, что подтверждает теоретическую зависимость периода колебаний от длины маятника.