Номер 7, страница 52 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 7. Свободные колебания пружинного и математического маятников. Вопросы - номер 7, страница 52.

Условие.

7. Когда колебания математического маятника можно считать гармоническими?

Решение.

Решение

Колебания можно считать гармоническими, если возвращающая сила, действующая на тело, прямо пропорциональна его смещению из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Математически это выражается законом вида $F = -kx$, где $\text{F}$ — возвращающая сила, $\text{x}$ — смещение, а $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности (жесткость).

Для математического маятника (материальной точки массой $\text{m}$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $\text{l}$) возвращающая сила является тангенциальной (касательной) составляющей силы тяжести. Она определяется формулой:

$F_{\tau} = -mg \sin(\alpha)$

где $\alpha$ — угол отклонения маятника от вертикали (положения равновесия), а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Как видно из формулы, возвращающая сила пропорциональна не самому углу отклонения $\alpha$, а его синусу $\sin(\alpha)$. Это означает, что в общем случае колебания математического маятника не являются гармоническими, а только периодическими.

Однако, если амплитуда колебаний мала (то есть максимальный угол отклонения $\alpha$ очень мал), можно воспользоваться математическим приближением. Для малых углов, выраженных в радианах, синус угла приблизительно равен самому углу:

$\sin(\alpha) \approx \alpha$

Это приближение хорошо работает для углов, не превышающих 5-7°. В этом случае формула для возвращающей силы принимает вид:

$F_{\tau} \approx -mg\alpha$

Смещение маятника по дуге $\text{x}$ связано с углом отклонения как $x = l\alpha$, откуда $\alpha = x/l$. Подставив это в выражение для силы, получаем:

$F_{\tau} \approx -mg\frac{x}{l} = -\left(\frac{mg}{l}\right)x$

Это выражение имеет вид $F = -kx$, где коэффициент $k = \frac{mg}{l}$. Таким образом, при малых углах отклонения возвращающая сила становится прямо пропорциональной смещению, и колебания маятника можно считать гармоническими.

Ответ: Колебания математического маятника можно считать гармоническими только при условии малой амплитуды колебаний (когда максимальный угол отклонения от положения равновесия не превышает 5–7°). В этом случае возвращающая сила становится приблизительно прямо пропорциональной смещению маятника от положения равновесия.