Номер 9, страница 130 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

9. Гиря массой 0,5 кг из состояния покоя падает с высоты 2 м на пружину жёсткостью 2000 Н/м. Чему равно максимальное значение деформации пружины при полном превращении кинетической энергии гири в потенциальную энергию упругой деформации пружины?

Дано:

Масса гири: $m = 0,5$ кг

Высота падения до касания с пружиной: $h = 2$ м

Жёсткость пружины: $k = 2000$ Н/м

Начальная скорость гири: $v_0 = 0$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Максимальное значение деформации пружины: $x_{max}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения полной механической энергии. В системе "гиря-пружина-Земля" действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила упругости), поэтому ее полная механическая энергия сохраняется. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Определим два ключевых состояния системы:

1. Начальное состояние: гиря находится на высоте $\text{h}$ над пружиной и пребывает в состоянии покоя.

2. Конечное состояние: пружина сжата на максимальную величину $x_{max}$, и скорость гири в этой нижней точке траектории на мгновение становится равной нулю.

Для удобства вычислений выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение гири в момент максимального сжатия пружины. В этом случае в начальном состоянии гиря будет находиться на высоте $(h + x_{max})$ относительно нулевого уровня.

Полная механическая энергия системы в начальном состоянии ($E_1$) равна её гравитационной потенциальной энергии, так как кинетическая энергия и энергия деформации пружины равны нулю:

$E_1 = mg(h + x_{max})$

В конечном состоянии полная механическая энергия системы ($E_2$) полностью переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Кинетическая энергия гири равна нулю (поскольку она остановилась), и её гравитационная потенциальная энергия также равна нулю (поскольку она находится на выбранном нами нулевом уровне).

$E_2 = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна конечной: $E_1 = E_2$.

$mg(h + x_{max}) = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Полученное уравнение является квадратным относительно искомой величины $x_{max}$. Приведём его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{k}{2}x_{max}^2 - mgx_{max} - mgh = 0$

Подставим числовые значения из условия ($m = 0,5$ кг, $h = 2$ м, $k = 2000$ Н/м, $g = 10$ м/с²):

$\frac{2000}{2}x_{max}^2 - (0,5 \cdot 10)x_{max} - (0,5 \cdot 10 \cdot 2) = 0$

$1000x_{max}^2 - 5x_{max} - 10 = 0$

Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения:

$200x_{max}^2 - x_{max} - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней:

$x_{max} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 200 \cdot (-2)}}{2 \cdot 200}$

$x_{max} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1600}}{400} = \frac{1 \pm \sqrt{1601}}{400}$

Деформация пружины $x_{max}$ должна быть положительной величиной, поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$x_{max} = \frac{1 + \sqrt{1601}}{400}$

Вычислим приближенное значение, учитывая, что $\sqrt{1601} \approx 40,01$:

$x_{max} \approx \frac{1 + 40,01}{400} = \frac{41,01}{400} \approx 0,1025$ м

Округляя результат, получаем, что максимальная деформация пружины составляет примерно 0,1 м.

Ответ: максимальное значение деформации пружины равно приблизительно $0,1$ м.