Номер 9.3, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 9.3. По горизонтальной дороге сани массой 30 кг движутся под действием силы упругости 100 Н со стороны верёвки, направленной под углом $60^\circ$ к плоскости дороги. Коэффициент трения $\mu = 0,12$. Определите ускорение санок и путь, пройденный санями за 5 с. В начальный момент времени скорость саней была равна нулю.

Дано:

Масса саней, $m = 30$ кг

Сила упругости (натяжения верёвки), $F = 100$ Н

Угол, под которым направлена сила, $\alpha = 60^\circ$

Коэффициент трения, $\mu = 0,12$

Время движения, $t = 5$ с

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение санок, $a - ?$

Путь, пройденный санями, $s - ?$

Решение:

На сани, движущиеся по горизонтальной дороге, действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх; сила натяжения верёвки ($\vec{F}$), направленная под углом $\alpha$ к горизонту; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена горизонтально по направлению движения саней, а ось OY — перпендикулярно опоре, вертикально вверх. Запишем уравнения в проекциях на эти оси.

Проекция на ось OY: так как сани не движутся по вертикали, ускорение в этой проекции равно нулю ($a_y = 0$). Сумма сил, действующих по вертикали, равна нулю.

$N + F_y - mg = 0$

Вертикальная составляющая силы натяжения $F_y = F \sin\alpha$. Тогда:

$N + F \sin\alpha - mg = 0$

Отсюда можем выразить силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg - F \sin\alpha$

Проекция на ось OX: движение происходит с ускорением $\text{a}$.

$F_x - F_{тр} = ma$

Горизонтальная составляющая силы натяжения $F_x = F \cos\alpha$. Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Тогда:

$F \cos\alpha - \mu N = ma$

Подставим в это уравнение выражение для силы реакции опоры $\text{N}$:

$F \cos\alpha - \mu (mg - F \sin\alpha) = ma$

Теперь из этого уравнения можно выразить искомое ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{F \cos\alpha - \mu (mg - F \sin\alpha)}{m}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = \frac{100 \cdot \cos 60^\circ - 0,12 \cdot (30 \cdot 9,8 - 100 \cdot \sin 60^\circ)}{30} = \frac{100 \cdot 0,5 - 0,12 \cdot (294 - 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{30}$

$a \approx \frac{50 - 0,12 \cdot (294 - 100 \cdot 0,866)}{30} = \frac{50 - 0,12 \cdot (294 - 86,6)}{30} = \frac{50 - 0,12 \cdot 207,4}{30}$

$a \approx \frac{50 - 24,89}{30} = \frac{25,11}{30} \approx 0,837$ м/с².

Округлим до сотых: $a \approx 0,84$ м/с².

Теперь определим путь, пройденный санями за время $\text{t}$. Так как движение равноускоренное и начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), используем формулу:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Подставим значения ускорения и времени:

$s = \frac{0,84 \cdot (5)^2}{2} = \frac{0,84 \cdot 25}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$ м.

Ответ: ускорение санок примерно равно $0,84$ м/с², а путь, пройденный санями за 5 секунд, составляет $10,5$ м.