Номер 9.5, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 9.5. Шар массой 50 г, подвешенный на нити длиной 30 см, равномерно вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом 18 см (рис. 9.6). Найдите равнодействующую $ \vec{F} $ силы упругости $ \vec{F}_{\text{упр}} $ и силы тяжести $ \vec{F}_{\text{Т}} $. Ускорение силы тяжести считайте равным $ 10 \text{ м/с}^2 $.

Дано:

Масса шара $m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Длина нити $l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Радиус окружности $r = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Равнодействующую силу $\vec{F}$

Решение:

На шар действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения нити) $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса A. Равнодействующая этих сил $\vec{F}$ сообщает шару центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, необходимое для движения по окружности.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение:

$\vec{F} = \vec{F}_{упр} + \vec{F}_т = m\vec{a}_c$

Поскольку шар вращается в горизонтальной плоскости, его ускорение является центростремительным ($\vec{a}_c$) и направлено горизонтально к центру окружности O. Следовательно, равнодействующая сила $\vec{F}$ также направлена горизонтально к центру окружности.

Из векторного сложения сил (см. рисунок) видно, что равнодействующая $\vec{F}$ является горизонтальной составляющей, в то время как вертикальная составляющая силы упругости $\vec{F}_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $\vec{F}_т$.

Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали. Из прямоугольного треугольника, образованного векторами сил, следует, что:

$\tan(\alpha) = \frac{F}{F_т}$

где $\text{F}$ — модуль искомой равнодействующей силы, а $F_т = mg$ — модуль силы тяжести. Отсюда выразим $\text{F}$:

$F = F_т \tan(\alpha) = mg \tan(\alpha)$

Теперь найдем тангенс угла $\alpha$ из геометрии задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOh (где h - высота), образованный нитью длиной $\text{l}$, радиусом окружности $\text{r}$ и вертикальной осью. В этом треугольнике:

• $\text{l}$ — гипотенуза ($l = 0.3 \text{ м}$)
• $\text{r}$ — катет, противолежащий углу $\alpha$ ($r = 0.18 \text{ м}$)
• $\text{h}$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$

Найдем высоту $\text{h}$ по теореме Пифагора:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(0.3 \text{ м})^2 - (0.18 \text{ м})^2} = \sqrt{0.09 \text{ м}^2 - 0.0324 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0576 \text{ м}^2} = 0.24 \text{ м}$

Теперь можем найти тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{h} = \frac{0.18 \text{ м}}{0.24 \text{ м}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0.75$

Подставим найденное значение тангенса в формулу для силы $\text{F}$:

$F = mg \tan(\alpha) = 0.05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.75 = 0.5 \text{ Н} \cdot 0.75 = 0.375 \text{ Н}$

Равнодействующая сила направлена горизонтально к центру окружности вращения.

Ответ: модуль равнодействующей силы равен $F = 0.375 \text{ Н}$.