Номер 9.4, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 9.4. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $30^\circ$, снизу вверх начинает скользить брусок с некоторой начальной скоростью. Найдите отношение времени $t_1$ движения бруска вверх до остановки к времени $t_2$ движения вниз до исходной точки, если коэффициент трения бруска по наклонной плоскости 0,35.

Дано:

Угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$

Коэффициент трения $\mu = 0,35$

Найти:

Отношение времени движения вверх $t_1$ к времени движения вниз $t_2$: $\frac{t_1}{t_2}$

Решение:

Рассмотрим движение бруска в двух случаях: вверх и вниз по наклонной плоскости.

1. Движение бруска вверх.
Направим ось $ ext{Ox}$ вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $ ext{Oy}$ – перпендикулярно ей. На брусок действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр1}$, направленная против движения, то есть вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

Ось $ ext{Oy}$: $N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$.

Ось $ ext{Ox}$: $-mg\sin\alpha - F_{тр1} = -ma_1$, где $a_1$ – модуль ускорения бруска.

Сила трения скольжения равна $F_{тр1} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$. Подставив это в уравнение для оси $ ext{Ox}$, получим:

$mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = ma_1$

Отсюда модуль ускорения при движении вверх:

$a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Путь $\text{S}$, пройденный бруском до остановки, связан со временем движения $t_1$ и ускорением $a_1$ соотношением $S = \frac{1}{2}a_1 t_1^2$.

2. Движение бруска вниз.
Брусок начинает скользить вниз из состояния покоя. Теперь сила трения $\vec{F}_{тр2}$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Ускорение бруска обозначим как $a_2$. Второй закон Ньютона в проекции на ось $ ext{Ox}$ (направленную теперь для удобства вниз вдоль плоскости):

$mg\sin\alpha - F_{тр2} = ma_2$

Сила трения по модулю та же: $F_{тр2} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$.

$mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_2$

Отсюда модуль ускорения при движении вниз:

$a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Брусок проходит тот же путь $\text{S}$ за время $t_2$. Для равноускоренного движения без начальной скорости: $S = \frac{1}{2}a_2 t_2^2$.

3. Нахождение отношения времён.
Поскольку путь, пройденный вверх и вниз, одинаков, мы можем приравнять выражения для $\text{S}$:

$\frac{1}{2}a_1 t_1^2 = \frac{1}{2}a_2 t_2^2$

$a_1 t_1^2 = a_2 t_2^2$

Выразим искомое отношение:

$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{a_2}{a_1} \implies \frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{a_2}{a_1}}$

Подставим выражения для ускорений $a_1$ и $a_2$:

$\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}}$

4. Вычисление.
Подставим числовые значения $\alpha = 30^\circ$ и $\mu = 0,35$.

$\sin 30^\circ = 0,5$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{0,5 - 0,35 \cdot 0,866}{0,5 + 0,35 \cdot 0,866}} = \sqrt{\frac{0,5 - 0,3031}{0,5 + 0,3031}} = \sqrt{\frac{0,1969}{0,8031}} \approx \sqrt{0,24517} \approx 0,495$

Ответ:

Отношение времени движения вверх ко времени движения вниз составляет примерно 0,495.