Номер 7, страница 94 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 7. Для отделения космического корабля от космической станции использована пружина жёсткостью 1600 Н/м, сжатая на 0,1 м. Рассчитайте изменения скорости космического корабля и космической станции после распрямления пружины, если масса корабля 8 т, масса космической станции 32 т. Массой пружины можно пренебречь.

Дано:

Жесткость пружины, $k = 1600$ Н/м

Сжатие пружины, $x = 0,1$ м

Масса космического корабля, $m_1 = 8$ т

Масса космической станции, $m_2 = 32$ т

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 8 \cdot 1000 = 8000$ кг

$m_2 = 32 \cdot 1000 = 32000$ кг

Найти:

Изменение скорости космического корабля, $\Delta v_1$

Изменение скорости космической станции, $\Delta v_2$

Решение:

Система, состоящая из космического корабля и космической станции, является замкнутой, так как внешние силы отсутствуют или скомпенсированы. Взаимодействие происходит за счет внутренних сил упругости пружины. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

1. Закон сохранения импульса.

Изначально корабль и станция покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю. После распрямления пружины суммарный импульс системы также должен оставаться равным нулю:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0$

где $m_1$ и $\vec{v}_1$ – масса и скорость корабля, а $m_2$ и $\vec{v}_2$ – масса и скорость станции. Векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в противоположные стороны. Спроецировав на ось, направленную по движению корабля, получим для модулей скоростей:

$m_1v_1 - m_2v_2 = 0$

Отсюда $m_1v_1 = m_2v_2$, и мы можем выразить скорость станции через скорость корабля:

$v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1$

2. Закон сохранения энергии.

Потенциальная энергия $E_п$ сжатой пружины полностью переходит в суммарную кинетическую энергию $E_к$ корабля и станции:

$E_п = E_{к1} + E_{к2}$

$\frac{kx^2}{2} = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$kx^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_2$ из закона сохранения импульса:

$kx^2 = m_1v_1^2 + m_2\left(\frac{m_1}{m_2}v_1\right)^2 = m_1v_1^2 + m_2\frac{m_1^2v_1^2}{m_2^2} = m_1v_1^2 + \frac{m_1^2}{m_2}v_1^2$

Вынесем $v_1^2$ за скобки:

$kx^2 = v_1^2\left(m_1 + \frac{m_1^2}{m_2}\right) = v_1^2\left(\frac{m_1m_2 + m_1^2}{m_2}\right) = v_1^2\frac{m_1(m_1+m_2)}{m_2}$

Из этого уравнения выразим скорость корабля $v_1$:

$v_1^2 = \frac{kx^2m_2}{m_1(m_1+m_2)} \implies v_1 = x\sqrt{\frac{km_2}{m_1(m_1+m_2)}}$

Подставим числовые значения:

$v_1 = 0,1 \cdot \sqrt{\frac{1600 \cdot 32000}{8000 \cdot (8000 + 32000)}} = 0,1 \cdot \sqrt{\frac{1600 \cdot 32000}{8000 \cdot 40000}} = 0,1 \cdot \sqrt{\frac{51200000}{320000000}} = 0,1 \cdot \sqrt{0,16} = 0,1 \cdot 0,4 = 0,04$ м/с.

Теперь найдем скорость станции $v_2$:

$v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1 = \frac{8000}{32000} \cdot 0,04 = \frac{1}{4} \cdot 0,04 = 0,01$ м/с.

Так как начальные скорости корабля и станции были равны нулю, то найденные скорости $v_1$ и $v_2$ и есть искомые изменения скоростей $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$.

Ответ: изменение скорости космического корабля составляет 0,04 м/с, изменение скорости космической станции составляет 0,01 м/с.