Номер 5, страница 94 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 5. Монету положили на доску, наклонённую под углом $53^{\circ}$ к горизонтальной поверхности. Будет ли скользить монета по доске? Если будет, то с каким ускорением? Коэффициент трения равен $0,5$. В расчётах примите приближённые значения: $\sin 53^{\circ} = 0,8$; $\cos 53^{\circ} = 0,6$; $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Дано:

Угол наклона доски, $\alpha = 53^\circ$

Коэффициент трения, $\mu = 0,5$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$

$\sin 53^\circ \approx 0,8$

$\cos 53^\circ \approx 0,6$

Найти:

Будет ли монета скользить?

Ускорение монеты, $a - ?$

Решение:

На монету на наклонной плоскости действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) и сила трения ($\vec{F}_{тр}$).

Введем систему координат, в которой ось $ ext{Ox}$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $ ext{Oy}$ — перпендикулярно плоскости вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси.

Проекция силы тяжести на ось $ ext{Ox}$ является скатывающей силой: $F_{скат} = mg \sin\alpha$.

Проекция силы тяжести на ось $ ext{Oy}$ равна $mg \cos\alpha$.

Вдоль оси $ ext{Oy}$ движение отсутствует, поэтому сумма сил равна нулю:

$N - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos\alpha$

Чтобы определить, будет ли монета скользить, необходимо сравнить скатывающую силу с максимальной силой трения покоя $F_{тр.макс}$.

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

Монета начнет скользить, если $F_{скат} > F_{тр.макс}$, то есть если $mg \sin\alpha > \mu mg \cos\alpha$.

Разделив обе части неравенства на $ ext{mg}$ (где $m > 0, g > 0$), получим условие скольжения:

$\sin\alpha > \mu \cos\alpha$

Подставим известные значения:

$0,8 > 0,5 \cdot 0,6$

$0,8 > 0,3$

Неравенство выполняется, следовательно, монета будет скользить по доске.

Раз монета скользит, на нее действует сила трения скольжения $F_{тр.ск} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$, направленная против движения (вверх по наклонной плоскости).

Запишем второй закон Ньютона для движения вдоль оси $ ext{Ox}$ с ускорением $\text{a}$:

$ma = F_{скат} - F_{тр.ск}$

$ma = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Вычислим ускорение:

$a = 10 \cdot (0,8 - 0,5 \cdot 0,6) = 10 \cdot (0,8 - 0,3) = 10 \cdot 0,5 = 5 \text{ м/с}^2$

Ответ: Да, монета будет скользить по доске. Ускорение монеты составит $5 \text{ м/с}^2$.