Номер 6, страница 94 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 6. Точка на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, в которой сила притяжения, действующая на любое тело со стороны Земли, равна по модулю силе притяжения со стороны Луны, находится на расстоянии 54 радиусов Земли от центра Земли. Масса Земли больше массы Луны в 81 раз. Определите расстояние от Земли до Луны в радиусах Земли.

Дано:

Расстояние от центра Земли до точки равновесия сил $r_З = 54 R_З$

Отношение масс Земли и Луны $\frac{M_З}{M_Л} = 81$

Найти:

Расстояние от Земли до Луны $\text{R}$ в радиусах Земли ($R_З$).

Решение:

Пусть $\text{m}$ - масса пробного тела, помещенного в точку, где силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивают друг друга. $M_З$ и $M_Л$ — массы Земли и Луны соответственно. $R_З$ — радиус Земли.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения, действующая на тело со стороны Земли, равна:

$F_З = G \frac{M_З m}{r_З^2}$

где $r_З$ — расстояние от центра Земли до этого тела, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Сила притяжения, действующая на тело со стороны Луны, равна:

$F_Л = G \frac{M_Л m}{r_Л^2}$

где $r_Л$ — расстояние от центра Луны до этого тела.

Точка, в которой силы равны по модулю, находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны. Так как сила притяжения Земли должна уравновесить силу притяжения Луны, эти силы должны быть направлены в противоположные стороны. Это возможно только в том случае, если точка находится между Землей и Луной.

Обозначим искомое расстояние между центрами Земли и Луны как $\text{R}$. Тогда расстояние от центра Луны до точки равновесия будет $r_Л = R - r_З$.

По условию задачи, модули сил равны: $F_З = F_Л$.

$G \frac{M_З m}{r_З^2} = G \frac{M_Л m}{(R - r_З)^2}$

Сократив одинаковые множители $\text{G}$ и $\text{m}$ в обеих частях уравнения, получим:

$\frac{M_З}{r_З^2} = \frac{M_Л}{(R - r_З)^2}$

Из условия известно, что масса Земли больше массы Луны в 81 раз, то есть $M_З = 81 M_Л$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{81 M_Л}{r_З^2} = \frac{M_Л}{(R - r_З)^2}$

Сократим $M_Л$:

$\frac{81}{r_З^2} = \frac{1}{(R - r_З)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояния являются положительными величинами, получаем:

$\frac{9}{r_З} = \frac{1}{R - r_З}$

Выразим отсюда $\text{R}$:

$9(R - r_З) = r_З$

$9R - 9r_З = r_З$

$9R = 10r_З$

$R = \frac{10}{9} r_З$

По условию, расстояние $r_З$ равно 54 радиусам Земли ($r_З = 54 R_З$). Подставим это значение в полученную формулу:

$R = \frac{10}{9} \times 54 R_З = 10 \times (\frac{54}{9}) R_З = 10 \times 6 R_З = 60 R_З$

Таким образом, расстояние от Земли до Луны составляет 60 радиусов Земли.

Ответ: расстояние от Земли до Луны равно 60 радиусам Земли.