Номер 23.5, страница 107 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 23.5. Вычислите энергию связи нуклонов в ядре атома алюминия ${}_{13}^{27}\text{Al}$. Рассчитайте, какая энергия потребовалась бы для разделения 1 г ядер алюминия на составляющие протоны и нейтроны. Рассчитайте, сколько килограммов каменного угля потребуется сжечь для получения такой энергии. Масса ядра атома алюминия равна 26,974409 а.е.м. Удельная теплота сгорания каменного угля равна 30 000 кДж/кг.

Дано:

Ядро атома алюминия: $^{27}_{13}\text{Al}$

Масса ядра алюминия: $m_{я} = 26,974409 \text{ а.е.м.}$

Масса разделяемых ядер алюминия: $m_{Al} = 1 \text{ г}$

Удельная теплота сгорания каменного угля: $q_{угля} = 30\,000 \text{ кДж/кг}$

Справочные данные:

Масса протона: $m_p \approx 1,007276 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \leftrightarrow 931,5 \text{ МэВ}$

Молярная масса алюминия: $M \approx 27 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$1 \text{ МэВ} = 1,602 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

Перевод в систему СИ:

$m_{Al} = 1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$

$q_{угля} = 30\,000 \text{ кДж/кг} = 30 \times 10^6 \text{ Дж/кг} = 3 \times 10^7 \text{ Дж/кг}$

Найти:

$E_{св}$ — энергия связи нуклонов в ядре алюминия?

$E_{полн}$ — энергия для разделения 1 г ядер?

$m_{угля}$ — масса каменного угля?

Решение:

1. Вычислим энергию связи нуклонов в ядре атома алюминия $^{27}_{13}\text{Al}$

Ядро алюминия $^{27}_{13}\text{Al}$ состоит из $Z=13$ протонов и $N = A - Z = 27 - 13 = 14$ нейтронов.

Суммарная масса составляющих ядро нуклонов:

$m_{нуклонов} = Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 13 \cdot 1,007276 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1,008665 \text{ а.е.м.} = 13,094588 + 14,12131 = 27,215898 \text{ а.е.м.}$

Дефект массы $\Delta m$ — это разность между суммарной массой нуклонов и массой ядра:

$\Delta m = m_{нуклонов} - m_я = 27,215898 \text{ а.е.м.} - 26,974409 \text{ а.е.м.} = 0,241489 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи $E_{св}$ равна дефекту массы, умноженному на энергетический эквивалент атомной единицы массы:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} = 0,241489 \cdot 931,5 \approx 224,95 \text{ МэВ}$

Ответ: Энергия связи нуклонов в ядре атома алюминия составляет примерно 224,95 МэВ.

2. Рассчитаем, какая энергия потребуется для разделения 1 г ядер алюминия

Энергия, необходимая для разделения ядер, равна суммарной энергии связи всех ядер в 1 г алюминия. Сначала найдем количество ядер $\text{N}$ в 1 г алюминия.

$N = \frac{m_{Al}}{M} \cdot N_A = \frac{1 \text{ г}}{27 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,2304 \times 10^{22}$ ядер.

Переведем энергию связи одного ядра в джоули:

$E_{св, Дж} = 224,95 \text{ МэВ} \cdot 1,602 \times 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 3,604 \times 10^{-11} \text{ Дж}$

Полная энергия $E_{полн}$ для разделения всех ядер:

$E_{полн} = N \cdot E_{св, Дж} = 2,2304 \times 10^{22} \cdot 3,604 \times 10^{-11} \text{ Дж} \approx 8,038 \times 10^{11} \text{ Дж}$

Ответ: Для разделения 1 г ядер алюминия потребуется энергия около $8,04 \times 10^{11}$ Дж.

3. Рассчитаем, сколько килограммов каменного угля потребуется сжечь для получения такой энергии

Энергия, получаемая при сгорании угля, равна $Q = q_{угля} \cdot m_{угля}$. Приравняем эту энергию к найденной полной энергии связи $E_{полн}$.

$E_{полн} = q_{угля} \cdot m_{угля}$

Отсюда находим массу угля $m_{угля}$:

$m_{угля} = \frac{E_{полн}}{q_{угля}} = \frac{8,038 \times 10^{11} \text{ Дж}}{3 \times 10^7 \text{ Дж/кг}} \approx 26793 \text{ кг}$

Ответ: Потребуется сжечь примерно 26793 кг (или около 26,8 тонн) каменного угля.