Номер 8, страница 109 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Механические колебания и волны. Звук. Вариант 4 - номер 8, страница 109.

Условие.

8. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно колебаться под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельса 12,5 м.

Решение.

Дано:

Длина нити, $l = 1$ м
Длина рельса, $L = 12.5$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$
Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость вагона $\text{v}$.

Решение:

Маленький шарик, подвешенный на нити, является математическим маятником. Шарик будет особенно сильно колебаться при возникновении явления резонанса. Резонанс наступает, когда период $\text{T}$ вынуждающей силы (в данном случае — ударов колес о стыки рельсов) совпадает с периодом собственных колебаний $T_0$ маятника.

1. Период собственных колебаний математического маятника определяется по формуле:$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Подставим известные значения в формулу:$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.102} \text{ с} \approx 2.007 \text{ с}$

2. Период вынуждающей силы $\text{T}$ — это время, за которое вагон проходит расстояние, равное длине одного рельса $\text{L}$. Этот период зависит от скорости вагона $\text{v}$:$T = \frac{L}{v}$

3. Условием резонанса является равенство периодов:$T = T_0$

Следовательно:$\frac{L}{v} = T_0$

Отсюда выразим искомую скорость вагона $\text{v}$:$v = \frac{L}{T_0}$

Подставим численные значения:$v \approx \frac{12.5 \text{ м}}{2.007 \text{ с}} \approx 6.23 \text{ м/с}$

В школьных задачах для маятника длиной 1 м часто принимают период колебаний равным 2 с (это соответствует значению $g \approx \pi^2 \approx 9.87 \text{ м/с}^2$). При использовании этого значения расчет дает более "красивый" результат, который, скорее всего, и предполагался авторами задачи:$v = \frac{12.5 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 6.25 \text{ м/с}$

Переведем полученную скорость в километры в час:$v = 6.25 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} = 22.5 \text{ км/ч}$

Ответ: $v = 6.25 \text{ м/с}$ (или $22.5 \text{ км/ч}$).