Номер 5, страница 109 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Механические колебания и волны. Звук. Вариант 4 - номер 5, страница 109.

Условие.

5. Определите, во сколько раз нужно увеличить длину математического маятника, чтобы частота его колебаний уменьшилась в 4 раза.

Решение.

Дано:

Пусть $\nu_1$ и $l_1$ — начальные частота и длина математического маятника соответственно.

Пусть $\nu_2$ и $l_2$ — конечные частота и длина математического маятника соответственно.

По условию задачи, частота уменьшилась в 4 раза, следовательно:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = 4$

Найти:

Во сколько раз нужно увеличить длину, то есть найти отношение $\frac{l_2}{l_1}$.

Решение:

Частота колебаний математического маятника $\nu$ связана с его длиной $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ следующей формулой:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Запишем эту формулу для начального и конечного состояний маятника:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}$

Чтобы найти, как изменилась длина, составим отношение частот:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}}$

Сократим одинаковые множители $\frac{1}{2\pi}$ и $\sqrt{g}$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\sqrt{\frac{1}{l_1}}}{\sqrt{\frac{1}{l_2}}} = \sqrt{\frac{1}{l_1} \cdot \frac{l_2}{1}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Мы получили зависимость между отношением частот и отношением длин: $\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$.

Из условия задачи нам известно, что $\frac{\nu_1}{\nu_2} = 4$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$4 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Чтобы найти отношение длин $\frac{l_2}{l_1}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\frac{l_2}{l_1}})^2 = 4^2$

$\frac{l_2}{l_1} = 16$

Таким образом, чтобы частота колебаний математического маятника уменьшилась в 4 раза, его длину необходимо увеличить в 16 раз.

Ответ: длину математического маятника нужно увеличить в 16 раз.