Номер 9, страница 108 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Механические колебания и волны. Звук. Вариант 3 - номер 9, страница 108.

Условие.

9. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой — 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если разность их длин 48 см?

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника: $n_1 = 5$

Число колебаний второго маятника: $n_2 = 3$

Время колебаний одинаково: $t_1 = t_2 = t$

Разность длин маятников: $\Delta l = 48 \text{ см}$

$\Delta l = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$

Найти:

$l_1$ — ?

$l_2$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Период колебаний также можно определить как время $\text{t}$, деленное на число совершенных за это время колебаний $\text{n}$:

$T = \frac{t}{n}$

Запишем формулы для периодов первого и второго маятников:

$T_1 = \frac{t}{n_1}$ и $T_2 = \frac{t}{n_2}$

Также, через их длины:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$ и $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Найдем отношение периодов двух маятников:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/n_1}{t/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$

С другой стороны, это же отношение можно выразить через длины:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравнивая правые части полученных выражений, получаем:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{n_2}{n_1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$

Подставим числовые значения $n_1=5$ и $n_2=3$:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Из этого соотношения следует, что $l_1 = \frac{9}{25}l_2$. Это означает, что длина первого маятника меньше длины второго ($l_1 < l_2$). Маятник, который совершает больше колебаний за одно и то же время, имеет меньший период и, следовательно, меньшую длину.

По условию задачи разность их длин составляет 48 см. Так как $l_2 > l_1$, мы можем записать:

$l_2 - l_1 = 48 \text{ см}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $l_1 = \frac{9}{25}l_2$

2. $l_2 - l_1 = 48$

Подставим выражение для $l_1$ из первого уравнения во второе:

$l_2 - \frac{9}{25}l_2 = 48$

Вынесем $l_2$ за скобки:

$l_2\left(1 - \frac{9}{25}\right) = 48$

$l_2\left(\frac{25-9}{25}\right) = 48$

$l_2\left(\frac{16}{25}\right) = 48$

Отсюда находим $l_2$:

$l_2 = 48 \cdot \frac{25}{16} = 3 \cdot 25 = 75 \text{ см}$

Теперь, зная $l_2$, найдем $l_1$ из первого уравнения:

$l_1 = \frac{9}{25}l_2 = \frac{9}{25} \cdot 75 = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см}$

Ответ: длина первого маятника равна 27 см, а длина второго маятника — 75 см.