Номер 3, страница 19 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-16. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах. Вариант 1 - номер 3, страница 19.

Условие.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение.

Дано:

$F_1 / F_2 = 3$

$R = 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{r}$ — расстояние от центра Земли.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом:

$F = G \frac{M \cdot m}{d^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, $\text{d}$ — расстояние между центрами масс Земли и тела.

1. Сила тяготения, действующая на тело на поверхности Земли ($F_1$). В этом случае расстояние $\text{d}$ равно радиусу Земли $\text{R}$.

$F_1 = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

2. Сила тяготения, действующая на тело на искомом расстоянии $\text{r}$ от центра Земли ($F_2$).

$F_2 = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

3. Согласно условию задачи, сила $F_2$ в 3 раза меньше силы $F_1$:

$F_2 = \frac{F_1}{3}$

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{1}{3} \left( G \frac{M \cdot m}{R^2} \right)$

Сократим одинаковые множители ($\text{G}$, $\text{M}$ и $\text{m}$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{3R^2}$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = 3R^2$

Теперь найдем $\text{r}$, извлекая квадратный корень:

$r = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Подставим значение радиуса Земли $R = 6400 \text{ км}$:

$r = 6400 \cdot \sqrt{3} \approx 6400 \cdot 1.732 \approx 11084.8 \text{ км}$

Округлим результат до целого значения: $r \approx 11085 \text{ км}$.

Это расстояние от центра Земли. Высота над поверхностью Земли $\text{h}$ будет равна:

$h = r - R \approx 11085 - 6400 = 4685 \text{ км}$

Вопрос "на каком расстоянии от Земли" обычно подразумевает расстояние от центра планеты.

Ответ: расстояние от центра Земли составляет примерно $11085$ км (или высота над поверхностью Земли примерно $4685$ км).