Номер 6, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6*. Вспомните,какие физические величины изменяются при переходе от однойинерциальной системы отсчёта к другой. Докажите, что вид законовНьютона одинаков в инерциальных системах отсчёта.

Какие физические величины изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой

При переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) $K$ к другой ИСО $K'$, которая движется относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{v}_0$, связь между координатами и временем описывается преобразованиями Галилея (в рамках классической механики).

Пусть радиус-вектор точки в системе $K$ равен $\vec{r}$, а в системе $K'$ — $\vec{r}'$. Тогда преобразования имеют вид:

$\vec{r}' = \vec{r} - \vec{v}_0 t$

$t' = t$

Исходя из этих преобразований, можно определить, какие величины изменяются, а какие остаются инвариантными.

Физические величины, которые изменяются:

- Координаты (и радиус-вектор $\vec{r}$): Как видно из самого преобразования, положение тела в пространстве зависит от выбора системы отсчета.

- Скорость ($\vec{v}$): Скорость тела в системе $K'$ находится дифференцированием радиус-вектора $\vec{r}'$ по времени: $\vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt'} = \frac{d(\vec{r} - \vec{v}_0 t)}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{v}_0 = \vec{v} - \vec{v}_0$. Скорость является относительной величиной.

- Импульс ($\vec{p} = m\vec{v}$): Так как скорость изменяется, а масса инвариантна, импульс также изменяется: $\vec{p}' = m\vec{v}' = m(\vec{v} - \vec{v}_0) = \vec{p} - m\vec{v}_0$.

- Кинетическая энергия ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$): Поскольку скорость изменяется, кинетическая энергия также будет другой: $E_k' = \frac{1}{2}m(\vec{v}')^2 = \frac{1}{2}m(\vec{v} - \vec{v}_0)^2$. Эта величина не равна $E_k$ в общем случае.

Физические величины, которые не изменяются (инвариантны):

- Время ($t$): В классической механике время считается абсолютным, то есть течет одинаково во всех ИСО: $t' = t$.

- Масса ($m$): В классической механике масса является внутренней характеристикой тела и не зависит от системы отсчета.

- Ускорение ($\vec{a}$): Ускорение в системе $K'$ находится дифференцированием скорости $\vec{v}'$ по времени: $\vec{a}' = \frac{d\vec{v}'}{dt'} = \frac{d(\vec{v} - \vec{v}_0)}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{v}_0}{dt}$. Поскольку $\vec{v}_0$ — постоянный вектор, его производная равна нулю. Следовательно, $\vec{a}' = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$. Ускорение тела одинаково во всех ИСО.

- Сила ($\vec{F}$): В ньютоновской механике силы взаимодействия (например, гравитационные или упругие) зависят от взаимного расположения тел (расстояний между ними) и, возможно, их относительных скоростей. Расстояния между телами инвариантны при переходе между ИСО ($|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| = |\vec{r}'_1 - \vec{r}'_2|$). Поэтому и сила, действующая на тело, не изменяется: $\vec{F}' = \vec{F}$.

Ответ: При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяются координаты, скорость, импульс и кинетическая энергия тела. Неизменными остаются время, масса, ускорение и сила.

Докажите, что вид законов Ньютона одинаков в инерциальных системах отсчета

Доказательство инвариантности (неизменности вида) законов Ньютона при переходе от одной ИСО к другой основывается на принципе относительности Галилея и инвариантности ускорения и силы, показанной выше.

Рассмотрим две ИСО: $K$ и $K'$, где $K'$ движется относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{v}_0$.

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Закон гласит, что если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано ($\sum \vec{F} = 0$), то тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения ($\vec{a} = 0$).

- В системе $K$: если $\sum \vec{F} = 0$, то $\vec{a} = 0$.

- Перейдем в систему $K'$. Мы знаем, что сила и ускорение инвариантны: $\vec{F}' = \vec{F}$ и $\vec{a}' = \vec{a}$.

- Следовательно, условие $\sum \vec{F}' = 0$ эквивалентно условию $\sum \vec{F} = 0$. А равенство $\vec{a}' = 0$ эквивалентно равенству $\vec{a} = 0$.

- Таким образом, утверждение "если $\sum \vec{F}' = 0$, то $\vec{a}' = 0$" является истинным, если оно истинно в системе $K$. Вид первого закона сохраняется.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики)

Закон устанавливает связь между силой, массой и ускорением: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

- В системе $K$: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

- Запишем уравнение для системы $K'$: $\sum \vec{F}' = m\vec{a}'$.

- Используем инвариантность величин: $\sum \vec{F}' = \sum \vec{F}$ и $\vec{a}' = \vec{a}$. Масса $m$ также инвариантна.

- Подставив их в уравнение для $K'$, получаем: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

- Это в точности второй закон Ньютона для системы $K$, который мы считаем верным. Следовательно, второй закон имеет одинаковый вид во всех ИСО.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия)

Закон гласит, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$.

- В системе $K$: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$.

- Перейдем в систему $K'$. Силы взаимодействия инвариантны: $\vec{F}'_{12} = \vec{F}_{12}$ и $\vec{F}'_{21} = \vec{F}_{21}$.

- Подставляя эти соотношения в закон для системы $K$, мы напрямую получаем закон для системы $K'$: $\vec{F}'_{12} = -\vec{F}'_{21}$.

- Таким образом, третий закон Ньютона также сохраняет свой вид.

Ответ: Доказательство, основанное на преобразованиях Галилея, показывает, что ускорение и сила являются инвариантными величинами. Это приводит к тому, что все три закона Ньютона сохраняют свою математическую форму при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, что и подтверждает их инвариантность. Это явление называется принципом относительности Галилея.