Страница 117 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют механической энергией системы?

1. Что называют механической энергией системы?

Механическая энергия системы тел — это скалярная физическая величина, которая является мерой движения и взаимодействия тел в системе и характеризует способность этой системы совершать механическую работу.

Полная механическая энергия системы, обозначаемая $E$, представляет собой сумму её кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p$

Кинетическая энергия ($E_k$) — это энергия, связанная с движением тел системы. Она равна сумме кинетических энергий всех тел, составляющих систему. Для отдельного тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, она определяется как $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Потенциальная энергия ($E_p$) — это энергия, которая определяется взаимным расположением тел в системе или положением тел во внешнем силовом поле. Она представляет собой "запасённую" энергию, которая может быть преобразована в кинетическую энергию или работу. Примерами служат гравитационная потенциальная энергия ($E_p = mgh$, где $h$ — высота над нулевым уровнем) и потенциальная энергия упругой деформации ($E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её деформация).

Важным принципом, связанным с механической энергией, является закон сохранения механической энергии. В замкнутой системе тел, где действуют только консервативные силы (такие как сила тяжести и сила упругости), полная механическая энергия остаётся постоянной. Если в системе присутствуют неконсервативные силы (например, сила трения), то механическая энергия может уменьшаться, переходя в другие формы энергии, например, в тепловую.

Ответ: Механической энергией системы называют сумму кинетической энергии (энергии движения) всех тел системы и потенциальной энергии (энергии взаимодействия) этих тел между собой и с внешними полями.

2. В чём заключается закон изменения механической энергии?

1. Что называют механической энергией системы?

Механической энергией системы тел называют скалярную физическую величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий этих тел. Она характеризует способность системы совершать механическую работу. Полная механическая энергия $E$ системы складывается из кинетической энергии $E_k$ (энергии движения) и потенциальной энергии $E_p$ (энергии взаимодействия). Кинетическая энергия для тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Потенциальная энергия зависит от конфигурации системы и вида взаимодействия. Например, для тела в поле тяжести Земли она равна $E_p = mgh$ (где $h$ — высота), а для упруго деформированной пружины — $E_p = \frac{kx^2}{2}$ (где $k$ — жесткость, $x$ — деформация). В общем виде, полная механическая энергия есть $E = E_k + E_p$.

Ответ: Механическая энергия системы — это сумма кинетической энергии (энергии движения) и потенциальной энергии (энергии взаимодействия) всех тел, входящих в систему.

2. В чём заключается закон изменения механической энергии?

Закон изменения механической энергии гласит, что изменение полной механической энергии системы равно работе всех внешних и внутренних неконсервативных сил, действующих на тела системы. Неконсервативными (или непотенциальными) силами называют силы, работа которых зависит от траектории (например, сила трения, сила сопротивления воздуха). Работа консервативных сил (силы тяжести, силы упругости) уже учтена через изменение потенциальной энергии. Математически закон записывается как $\Delta E = A_{н.к.}$, где $\Delta E = E_2 - E_1$ — изменение полной механической энергии (разность между конечным $E_2$ и начальным $E_1$ значениями), а $A_{н.к.}$ — суммарная работа неконсервативных сил. Если $A_{н.к.} > 0$, энергия системы увеличивается. Если $A_{н.к.} < 0$ (как в случае трения), энергия системы уменьшается, переходя в другие формы, например, в теплоту.

Ответ: Закон изменения механической энергии заключается в том, что изменение полной механической энергии системы равно работе всех неконсервативных сил, действующих в этой системе.

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии является частным случаем закона ее изменения. Он применим к замкнутым системам, в которых все действующие силы являются консервативными (или работа неконсервативных сил равна нулю). Формулировка закона: в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, то есть остается постоянной во времени. В этом случае работа неконсервативных сил $A_{н.к.} = 0$, и из закона изменения энергии ($\Delta E = A_{н.к.}$) следует, что $\Delta E = 0$, или $E = \text{const}$. Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергий системы не меняется, хотя они могут превращаться друг в друга: $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$, где индексы 1 и 2 обозначают два произвольных состояния системы.

Ответ: В замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем).

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в виде уравнения.

3. Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом: в замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы (такие как сила тяжести и сила упругости), полная механическая энергия системы остается постоянной. Иными словами, если работа внешних и неконсервативных внутренних сил (например, силы трения) равна нулю, механическая энергия системы сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $E_к$ и потенциальной энергии $E_п$.

В виде уравнения закон сохранения механической энергии записывается как:

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Это означает, что для любых двух состояний системы (в моменты времени $t_1$ и $t_2$) справедливо равенство:

$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$

где $E_{к1}$ и $E_{п1}$ — кинетическая и потенциальная энергии системы в начальный момент времени, а $E_{к2}$ и $E_{п2}$ — в конечный момент времени.

Ответ: Закон сохранения механической энергии гласит, что полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, остается неизменной. Уравнение: $E_к + E_п = \text{const}$.

4. Да, в системе, где сохраняется полная механическая энергия, потенциальная и кинетическая энергии могут изменяться с течением времени. Закон сохранения утверждает, что их сумма остается постоянной, но сами слагаемые могут изменяться, преобразуясь друг в друга.

Например, при свободном падении тела без учета сопротивления воздуха его потенциальная энергия ($E_п = mgh$) уменьшается по мере уменьшения высоты $h$, а кинетическая энергия ($E_к = \frac{mv^2}{2}$) увеличивается за счет роста скорости $v$. Однако их сумма $E_п + E_к$ в любой точке траектории остается неизменной.

Другой пример — колебания математического маятника. В крайних точках траектории, где маятник на мгновение останавливается, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна. При прохождении положения равновесия (нижней точки) потенциальная энергия минимальна, а кинетическая — максимальна. В процессе колебаний происходит непрерывный переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Ответ: Да, могут. Потенциальная и кинетическая энергии могут изменяться, переходя друг в друга, но их сумма (полная механическая энергия) в замкнутой консервативной системе остается постоянной.

4. Может ли меняться с течением времени потенциальная или кинетическая энергия замкнутой системы?

Да, как потенциальная, так и кинетическая энергия замкнутой системы могут меняться с течением времени. Это связано с тем, что в замкнутой системе выполняется закон сохранения полной энергии, но не обязательно сохранения её отдельных видов. Полная энергия системы, которая остается постоянной, является суммой различных видов энергии, включая кинетическую, потенциальную, внутреннюю (тепловую) и другие.

Энергия может переходить из одного вида в другой. Рассмотрим два основных случая:

1. Взаимопревращение кинетической и потенциальной энергии.

Если внутри замкнутой системы действуют только консервативные силы (например, сила тяжести или сила упругости), то полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергии) сохраняется. Однако сами по себе кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, переходя друг в друга.

Пример: Математический маятник (система "груз-Земля").

В крайних точках траектории, где груз на мгновение останавливается, его скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия $E_k$ минимальна (равна нулю), а высота максимальна, значит, потенциальная энергия $E_p$ максимальна.

При прохождении положения равновесия (нижняя точка) скорость груза максимальна, а значит, максимальна и кинетическая энергия $E_k$. Высота же в этот момент минимальна, следовательно, потенциальная энергия $E_p$ тоже минимальна.

Таким образом, во время колебаний происходит непрерывный переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Обе эти величины меняются с течением времени, но их сумма $E_{мех} = E_k + E_p$ остается постоянной.

2. Переход механической энергии в другие виды энергии.

Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется. Она может уменьшаться, переходя в другие формы, чаще всего во внутреннюю (тепловую) энергию.

Пример: Неупругое столкновение двух тел.

Рассмотрим систему из двух пластилиновых шаров, летящих навстречу друг другу. До столкновения система обладает определенной кинетической энергией. После столкновения шары слипаются и могут либо остановиться, либо продолжить движение с меньшей скоростью. В любом случае, суммарная кинетическая энергия системы после столкновения будет меньше, чем до него.

Разница в кинетической энергии перешла во внутреннюю энергию — шары при столкновении деформировались и немного нагрелись. Таким образом, кинетическая энергия системы изменилась (уменьшилась), хотя полная энергия (с учетом тепловой) осталась неизменной.

Ответ: Да, могут. В замкнутой системе полная энергия постоянна, но ее составляющие — потенциальная и кинетическая энергии — могут изменяться, превращаясь друг в друга или в другие виды энергии (например, в тепловую).

1. Решите рассмотренную в параграфе задачу из примера 2 без использования закона сохранения механической энергии.

1. Поскольку в задании не приведено условие "задачи из примера 2", будем считать, что имеется в виду стандартная задача, которая часто решается с помощью закона сохранения энергии: определение скорости тела, падающего с некоторой высоты. Решим эту задачу, используя законы динамики и кинематики, как того требует условие.

Условие предполагаемой задачи: Тело массой $m$ падает с высоты $h$ из состояния покоя. Определить скорость тела $v$ в момент перед соударением с поверхностью. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная высота: $h$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Конечная скорость: $v$

Решение:

Для решения задачи без использования закона сохранения механической энергии применим второй закон Ньютона и формулы кинематики для равноускоренного движения.

На тело при свободном падении (сопротивление воздуха не учитывается) действует только одна сила — сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Согласно второму закону Ньютона:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Тогда проекция силы тяжести на эту ось будет положительной и равной $mg$. Проекция ускорения на эту же ось будет $a_y = a$. Уравнение в проекции на ось OY примет вид:

$mg = ma$

Из этого уравнения следует, что ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения:

$a = g$

Движение тела является равноускоренным. Для нахождения конечной скорости воспользуемся кинематической формулой, которая связывает перемещение, скорости и ускорение, и не включает время:

$s_y = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$

В нашем случае перемещение $s_y$ равно высоте падения $h$. Начальная скорость $v_{0y} = v_0 = 0$, так как тело начинает падение из состояния покоя. Ускорение $a_y = g$. Конечная скорость $v_y = v$. Подставим эти значения в формулу:

$h = \frac{v^2 - 0^2}{2g}$

$h = \frac{v^2}{2g}$

Выразим из полученного равенства искомую скорость $v$:

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Полученный результат полностью совпадает с тем, который можно получить, используя закон сохранения механической энергии ($E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2} \implies mgh + 0 = 0 + \frac{mv^2}{2}$).

Ответ: $v = \sqrt{2gh}$.

2. Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты $h_0 = 36$ м от земли. Какую скорость $v$ она будет иметь на высоте $h = 31$ м? (Принять $g = 10 \text{ м}/\text{с}^2$).

Дано:

начальная высота $h_0 = 36 \text{ м}$

конечная высота $h = 31 \text{ м}$

ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$

начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (так как сосулька отрывается, а не бросается)

Найти:

скорость на высоте h: $v$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальный момент времени (на высоте $h_0$) полная механическая энергия сосульки равна ее потенциальной энергии, так как ее скорость равна нулю. В конечный момент времени (на высоте $h$) полная механическая энергия складывается из потенциальной и кинетической энергий.

Полная механическая энергия в начальной точке:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0$

Так как $v_0=0$, то $E_0 = mgh_0$.

Полная механическая энергия в конечной точке:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии (пренебрегая сопротивлением воздуха), начальная энергия равна конечной энергии:

$E_0 = E$

$mgh_0 = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Массу сосульки $m$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$gh_0 = \frac{v^2}{2} + gh$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{v^2}{2} = gh_0 - gh$

$\frac{v^2}{2} = g(h_0 - h)$

$v^2 = 2g(h_0 - h)$

$v = \sqrt{2g(h_0 - h)}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (36 \text{ м} - 31 \text{ м})} = \sqrt{20 \cdot 5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{100} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость сосульки на высоте 31 м будет равна $10 \text{ м/с}$.

3. Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 5 \text{ м/с}$. На какую высоту от места вылета он поднимется? (Принять $g = 10 \text{ м/с}^2$.)

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 5 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Максимальную высоту подъема, $h$ — ?

Решение:

Движение шарика после вылета из пистолета является равнозамедленным движением под действием силы тяжести. Начальная скорость шарика направлена вертикально вверх. Ускорение свободного падения $g$ направлено вертикально вниз, поэтому оно будет замедлять движение шарика.

На максимальной высоте подъема скорость шарика становится равной нулю ($v = 0$).

Для нахождения высоты подъема можно использовать формулу, связывающую начальную и конечную скорости, ускорение и перемещение без учета времени:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

В данном случае:

• конечная скорость $v = 0 \text{ м/с}$;
• начальная скорость $v_0 = 5 \text{ м/с}$;
• ускорение $a = -g = -10 \text{ м/с}^2$ (знак "минус" указывает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору начальной скорости).

Подставим значения в формулу:

$h = \frac{0^2 - (5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (-10 \text{ м/с}^2)} = \frac{-25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{-20 \text{ м/с}^2} = 1.25 \text{ м}$

Альтернативно, можно использовать закон сохранения энергии. В момент вылета вся энергия шарика — это кинетическая энергия $E_k$. На максимальной высоте вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию $E_p$.

$E_k = E_p$

$\frac{m v_0^2}{2} = mgh$

Масса шарика $m$ сокращается, и мы получаем ту же формулу для высоты:

$h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{25}{20} \text{ м} = 1.25 \text{ м}$

Ответ: шарик поднимется на высоту 1.25 м от места вылета.