Страница 88 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояние от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок? Какая стрелка движется с большим ускорением?

Дано:

Период вращения минутной стрелки: $T_м = 60 \text{ мин}$

Период вращения секундной стрелки: $T_с = 60 \text{ с}$

Расстояние от центра до конца минутной стрелки: $R_м$

Расстояние от центра до конца секундной стрелки: $R_с$

$R_м = R_с = R$

$T_м = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

$T_с = 60 \text{ с}$

Найти:

1. Отношение ускорений $\frac{a_с}{a_м}$

2. Какая стрелка движется с большим ускорением?

Решение:

Концы стрелок часов движутся по окружности с постоянной по модулю скоростью. Такое движение характеризуется наличием центростремительного ускорения, которое всегда направлено к центру окружности. Тангенциальное ускорение, отвечающее за изменение величины скорости, равно нулю, так как стрелки вращаются равномерно.

Центростремительное ускорение $a$ вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — радиус окружности (в данном случае — длина стрелки).

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ (временем одного полного оборота) следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Найдем угловые скорости для минутной и секундной стрелок, используя их периоды, переведенные в систему СИ:

Угловая скорость минутной стрелки: $\omega_м = \frac{2\pi}{T_м} = \frac{2\pi}{3600} \text{ рад/с}$

Угловая скорость секундной стрелки: $\omega_с = \frac{2\pi}{T_с} = \frac{2\pi}{60} \text{ рад/с}$

Теперь можем записать выражения для ускорений концов каждой стрелки:

Ускорение конца минутной стрелки: $a_м = \omega_м^2 R = \left(\frac{2\pi}{3600}\right)^2 R$

Ускорение конца секундной стрелки: $a_с = \omega_с^2 R = \left(\frac{2\pi}{60}\right)^2 R$

Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок?

Чтобы найти отношение ускорений, разделим ускорение конца секундной стрелки на ускорение конца минутной стрелки. По условию задачи, их длины (радиусы вращения) одинаковы ($R_м = R_с = R$).

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{\omega_с^2 R}{\omega_м^2 R} = \frac{\omega_с^2}{\omega_м^2} = \left(\frac{\omega_с}{\omega_м}\right)^2$

Подставим выражения для угловых скоростей через периоды:

$\frac{a_с}{a_м} = \left(\frac{2\pi/T_с}{2\pi/T_м}\right)^2 = \left(\frac{T_м}{T_с}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения периодов:

$\frac{a_с}{a_м} = \left(\frac{3600 \text{ с}}{60 \text{ с}}\right)^2 = 60^2 = 3600$

Ответ: Отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки равно 3600.

Какая стрелка движется с большим ускорением?

Из полученного отношения $\frac{a_с}{a_м} = 3600$ видно, что оно больше единицы. Это означает, что числитель ($a_с$) больше знаменателя ($a_м$).

$a_с = 3600 \cdot a_м$

Следовательно, ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной стрелки.

Ответ: С большим ускорением движется секундная стрелка.

6. Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, а масса Луны — $7 \cdot 10^{22}$ кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите:

а) силу притяжения между Землёй и Луной;

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли;

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано:

Масса Земли, $m_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Масса Луны, $m_Л = 7 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус орбиты, $R = 384 000 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R = 384 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

а) Силу притяжения, $F$

б) Центростремительное ускорение, $a_ц$

в) Модуль скорости движения Луны, $v$

Решение:

а) силу притяжения между Землёй и Луной

Силу гравитационного притяжения между двумя телами можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_З m_Л}{R^2}$

Подставим в формулу известные значения масс и расстояния между центрами Земли и Луны:

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ кг})}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

Выполним вычисления:

$F = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 10^{-11+24+22}}{(3.84)^2 \cdot 10^{16}} \text{ Н} = \frac{280.14 \cdot 10^{35}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \text{ Н} \approx 18.998 \cdot 10^{19} \text{ Н}$

Округлив, получаем:

$F \approx 1.9 \cdot 10^{20} \text{ Н}$

Ответ: $1.9 \cdot 10^{20}$ Н.

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли

Гравитационная сила, действующая на Луну со стороны Земли, является центростремительной силой, которая удерживает Луну на орбите. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает Луне центростремительное ускорение:

$F = m_Л a_ц$

Отсюда можем выразить ускорение $a_ц$. Для более точного расчета используем формулу силы F:

$a_ц = \frac{F}{m_Л} = \frac{G \frac{m_З m_Л}{R^2}}{m_Л} = G \frac{m_З}{R^2}$

Подставим числовые значения:

$a_ц = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2} = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлив, получаем:

$a_ц \approx 0.0027 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: $0.0027$ м/с$^2$.

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли

При движении по окружности центростремительное ускорение связано с линейной скоростью и радиусом окружности следующим соотношением:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Из этой формулы выразим модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{a_ц R}$

Подставим значение центростремительного ускорения, вычисленное в пункте б), и радиус орбиты:

$v = \sqrt{2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}} = \sqrt{10.42176 \cdot 10^5} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1020.87 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат:

$v \approx 1021 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $1.02 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: $\approx 1021$ м/с.

7. Определите, с какой скоростью движется автомобиль массой 1 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если сила давления автомобиля на середину моста равна 15 кН.

Дано:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

$R = 100 \text{ м}$

$P = 15 \text{ кН} = 15000 \text{ Н}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v$

Решение:

Когда автомобиль находится в нижней точке вогнутого моста, на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, которое направлено к центру кривизны траектории, то есть вертикально вверх. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, уравнение движения будет иметь вид:

$N - mg = ma_c$

Центростремительное ускорение определяется формулой:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставив выражение для ускорения в уравнение сил, получим:

$N - mg = \frac{mv^2}{R}$

По третьему закону Ньютона, сила давления $P$, с которой автомобиль действует на мост, равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, с которой мост действует на автомобиль. Таким образом, $P = N$.

Заменим $N$ на $P$ в уравнении:

$P - mg = \frac{mv^2}{R}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$mv^2 = R(P - mg)$

$v^2 = \frac{R(P - mg)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{R(P - mg)}{m}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{\frac{100 \text{ м} \cdot (15000 \text{ Н} - 1000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)}{1000 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{100 \cdot (15000 - 10000)}{1000}} \text{ м/с} = \sqrt{\frac{100 \cdot 5000}{1000}} \text{ м/с} = \sqrt{500} \text{ м/с}$

$v = \sqrt{100 \cdot 5} \text{ м/с} = 10\sqrt{5} \text{ м/с} \approx 22,4 \text{ м/с}$

Ответ: скорость автомобиля равна $10\sqrt{5} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $22,4 \text{ м/с}$.