Страница 93 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6. Как движется спутник, обладающий первой космической скоростью; второй космической скоростью?

первой космической скоростью

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности планеты (например, Земли), чтобы оно стало ее искусственным спутником и начало двигаться по круговой орбите.

При такой скорости сила гравитационного притяжения со стороны планеты в точности равна силе, необходимой для поддержания движения по кругу (центростремительной силе). Это условие можно записать с помощью второго закона Ньютона:

$F_{тяг} = F_{ц.с.}$

$G \frac{Mm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, а $R$ — радиус орбиты (для орбит вблизи поверхности он примерно равен радиусу планеты).

Из этой формулы следует, что первая космическая скорость определяется как $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.

Таким образом, спутник, обладающий скоростью, в точности равной первой космической, будет двигаться по устойчивой круговой орбите вокруг планеты на постоянной высоте.

Ответ: Спутник, обладающий первой космической скоростью, движется по круговой орбите вокруг Земли.

второй космической скоростью

Вторая космическая скорость ($v_2$), также известная как скорость убегания или параболическая скорость, — это наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно смогло преодолеть её гравитационное притяжение и уйти на бесконечно большое расстояние от нее.

При достижении этой скорости полная механическая энергия тела (сумма кинетической и потенциальной энергии) в гравитационном поле планеты становится равной нулю. Это означает, что кинетической энергии тела достаточно, чтобы "погасить" отрицательную потенциальную энергию гравитационного притяжения.

$\frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R} = 0$

Отсюда вторая космическая скорость равна $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2} \cdot v_1$.

Спутник, которому сообщили скорость, равную второй космической, будет двигаться относительно планеты по параболической траектории. Он навсегда покинет окрестности планеты и ее гравитационное поле, став спутником Солнца (если речь идет о запуске с Земли).

Ответ: Спутник, обладающий второй космической скоростью, движется по параболической траектории относительно Земли, навсегда покидая ее поле тяготения.

Почему тела внутри спутника, движущегося за пределами земной атмосферы, невесомы?

Решение

Состояние невесомости, которое испытывают тела внутри спутника, движущегося по орбите, возникает не из-за отсутствия гравитации, а из-за особенностей их движения. На высоте орбиты спутника сила земного притяжения лишь незначительно слабее, чем на поверхности планеты. Например, на высоте 400 км, где летает МКС, ускорение свободного падения составляет около 90% от значения на поверхности. Причина невесомости кроется в другом.

Следует различать понятия «сила тяжести» и «вес». Сила тяжести — это сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны Земли ($F_{тяж} = mg$). Вес же ($P$) — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие действия силы тяжести. Невесомость — это состояние, при котором вес тела равен нулю, хотя сила тяжести продолжает на него действовать.

Спутник, двигаясь по орбите, фактически находится в состоянии непрерывного свободного падения. Он постоянно «падает» на Землю под действием её гравитации, но из-за своей большой горизонтальной скорости он всё время «промахивается» мимо неё, двигаясь по замкнутой траектории. Вместе со спутником с точно таким же ускорением свободного падения падают и все находящиеся внутри него тела (космонавты, предметы).

Поскольку и сам спутник (опора), и тела внутри него движутся с одинаковым ускорением, они не оказывают друг на друга никакого давления. Космонавт не давит на пол корабля, и пол, соответственно, не действует на него с силой реакции опоры. Вес тела в системе, движущейся с ускорением $a$, можно выразить формулой $P = m(g - a)$. В случае свободного падения ускорение системы $a$ равно ускорению свободного падения $g$. Следовательно, вес тела становится равным нулю:

$P = m(g - g) = 0$

Таким образом, невесомость в спутнике — это следствие движения по орбите, которое является свободным падением.

Ответ: Тела внутри спутника невесомы, потому что и сам спутник, и все находящиеся в нем объекты находятся в состоянии постоянного свободного падения на Землю. Они движутся с одинаковым ускорением, из-за чего не давят друг на друга (на опору), и их вес становится равным нулю.

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. ($M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг; $R_З = 6,4 \cdot 10^6$ м.)

1. Дано

$h = 2600 \text{ км}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$ (гравитационная постоянная)

$h = 2600 \text{ км} = 2600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v - ?$

Решение

Искусственный спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение.

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Землей и спутником определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила ($F_ц$), действующая на спутник, равна:

$F_ц = m a_ц = \frac{mv^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, а $r$ — радиус орбиты.

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$ в уравнении:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выразим скорость спутника $v$:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты над поверхностью Земли $h$:

$r = R_З + h$

Подставим числовые значения и вычислим радиус орбиты:

$r = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 9,0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость спутника:

$v = \sqrt{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{9,0 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{9,0 \cdot 10^6} \frac{м^2}{с^2}} \approx \sqrt{4,447 \cdot 10^7 \frac{м^2}{с^2}} \approx 6668,5 \frac{м}{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$v \approx 6,7 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 6,7 \frac{км}{с}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли равна примерно $6,7 \cdot 10^3$ м/с или 6,7 км/с.

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью $1.67 \text{ км/с}$. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно $1.6 \text{ м/с}^2$.

Дано:

Скорость спутника на круговой орбите, $v = 1,67$ км/с

Ускорение свободного падения на поверхности Луны, $g_Л = 1,6$ м/с²

$v = 1,67 \text{ км/с} = 1,67 \cdot 1000 \text{ м/с} = 1670 \text{ м/с}$

Найти:

Радиус Луны $R_Л$

Решение:

Для тела, движущегося по круговой орбите, необходимо наличие центростремительной силы, которая сообщает ему центростремительное ускорение. В случае спутника, вращающегося вокруг Луны, такой силой является сила гравитационного притяжения.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник, равна произведению его массы $m$ на ускорение $a$:

$F = ma$

Поскольку спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Луны, его ускорение является центростремительным и равно ускорению свободного падения на поверхности Луны, то есть $a = g_Л$.

Центростремительное ускорение также выражается через орбитальную скорость $v$ и радиус орбиты $R$ по формуле:

$a = \frac{v^2}{R}$

Так как орбита находится вблизи поверхности, ее радиус $R$ можно считать равным радиусу Луны $R_Л$.

Приравнивая два выражения для ускорения, получаем:

$g_Л = \frac{v^2}{R_Л}$

Из этой формулы выразим искомый радиус Луны $R_Л$:

$R_Л = \frac{v^2}{g_Л}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$R_Л = \frac{(1670 \text{ м/с})^2}{1,6 \text{ м/с}^2} = \frac{2788900 \text{ м}^2/\text{с}^2}{1,6 \text{ м/с}^2} = 1743062,5 \text{ м}$

Результат можно перевести в километры для большей наглядности:

$1743062,5 \text{ м} = 1743,0625 \text{ км} \approx 1743 \text{ км}$

Ответ: радиус Луны равен $1743062,5 \text{ м}$, или приблизительно $1743 \text{ км}$.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

$F_1$ - сила тяготения, действующая на тело на поверхности Земли.

$F_2$ - сила тяготения, действующая на тело на искомом расстоянии от центра Земли.

Соотношение сил: $F_1 = 3 F_2$

$R_З$ - радиус Земли (расстояние от центра Земли до ее поверхности).

Найти:

$r$ - расстояние от центра Земли, на котором сила тяготения будет в 3 раза меньше.

Решение:

Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

Запишем формулу для силы тяготения $F_1$, действующей на тело на поверхности Земли. В этом случае расстояние от тела до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$.

$F_1 = G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, а $m$ — масса тела.

Теперь запишем формулу для силы тяготения $F_2$, действующей на то же тело на искомом расстоянии $r$ от центра Земли.

$F_2 = G \frac{M_З \cdot m}{r^2}$

По условию задачи, сила тяготения на поверхности $F_1$ в 3 раза больше силы тяготения на расстоянии $r$, то есть $F_1 = 3 F_2$.

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$ в это соотношение:

$G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2} = 3 \cdot \left(G \frac{M_З \cdot m}{r^2}\right)$

Мы можем сократить одинаковые множители ($G$, $M_З$ и $m$) в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю.

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{3}{r^2}$

Теперь выразим $r^2$ из полученной пропорции:

$r^2 = 3 R_З^2$

Чтобы найти расстояние $r$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку расстояние является положительной величиной, нас интересует только арифметический корень.

$r = \sqrt{3 R_З^2} = R_З \sqrt{3}$

Таким образом, искомое расстояние от центра Земли должно быть в $\sqrt{3}$ раз больше радиуса Земли. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Ответ: расстояние от центра Земли, на котором сила тяготения будет в 3 раза меньше, равно $R_З\sqrt{3}$, где $R_З$ — радиус Земли.

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

Высота подъема ракеты $h = 3200$ км

Радиус Земли $R_З = 6400$ км

Время падения $t = 1$ с

$h = 3200 \text{ км} = 3.2 \times 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Путь $s$ - ?

Решение:

Ракета начинает падать с наивысшей точки своей траектории, где ее скорость на мгновение становится равной нулю. Следовательно, начальная скорость падения $v_0 = 0$. Падение происходит под действием силы гравитационного притяжения Земли, которая сообщает ракете ускорение свободного падения.

Величина ускорения свободного падения зависит от расстояния до центра Земли. Ускорение свободного падения на поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от центра) обозначается как $g_0$ и его значение принято считать $g_0 \approx 9.8$ м/с$^2$. Формула для него:$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, а $M_З$ — масса Земли.

На высоте $h$ над поверхностью ракета находится на расстоянии $r = R_З + h$ от центра Земли. Ускорение свободного падения на этой высоте, обозначим его $g_h$, будет:$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$.

Чтобы найти соотношение между $g_h$ и $g_0$, разделим второе выражение на первое:$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G M_З / (R_З + h)^2}{G M_З / R_З^2} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$.

Отсюда можем выразить $g_h$:$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$.

Подставим числовые значения:$g_h = g_0 \left( \frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 3200 \text{ км}} \right)^2 = g_0 \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g_0 \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g_0$.

За короткий промежуток времени $t = 1$ с ракета пройдет небольшое расстояние по сравнению с высотой $h$, поэтому ее ускорение можно считать постоянным и равным $g_h$. Движение ракеты в первую секунду является равноускоренным с начальной скоростью $v_0 = 0$. Путь, пройденный телом при таком движении, рассчитывается по формуле:$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Подставив наши значения $v_0 = 0$, $a = g_h$ и $t = 1$ с, получаем:$s = \frac{g_h t^2}{2} = \frac{(\frac{4}{9}g_0) \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{2}{9}g_0$.

Теперь вычислим числовое значение пути, используя $g_0 \approx 9.8$ м/с$^2$:$s = \frac{2}{9} \times 9.8 \text{ м} \approx 2.177... \text{ м}$.

Данные в условии задачи ($3200$ км и $6400$ км) заданы с точностью до двух значащих цифр. Поэтому и результат целесообразно округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $s \approx 2.2$ м.