Страница 98 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют импульсом тела? 2

Что называют импульсом тела?

Импульсом тела (также его называют количеством движения) — это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. Импульс характеризует, какое количество движения содержится в теле, и как это движение может быть передано другим телам при взаимодействии, например, при ударе или столкновении.

Импульс тела определяется как произведение массы этого тела на его скорость. Формула для расчёта импульса выглядит следующим образом:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

В этой формуле:

• $\vec{p}$ — это вектор импульса тела;
• $m$ — это масса тела (скалярная величина, всегда положительная);
• $\vec{v}$ — это вектор скорости движения тела.

Так как масса $m$ является скалярной величиной, направление вектора импульса $\vec{p}$ всегда совпадает с направлением вектора скорости $\vec{v}$. Чем больше масса тела или его скорость, тем больше его импульс.

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду ($кг \cdot м/с$).

Понятие импульса является центральным для одного из фундаментальных законов физики — закона сохранения импульса. Он гласит, что в замкнутой системе (то есть в системе, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано) векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остаётся постоянной. Это свойство широко используется при анализе столкновений и реактивного движения.

Ответ: Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость. Он является мерой механического движения тела и определяется по формуле $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$.

2. Что можно сказать о направленных векторах импульса и скорости движущегося тела?

1. Что называют импульсом тела?

Импульсом тела (или количеством движения) называют векторную физическую величину, которая является мерой механического движения тела. Импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость.

Математически это выражается формулой:

$\vec{p} = m\vec{v}$

где $\vec{p}$ — вектор импульса, $m$ — масса тела, а $\vec{v}$ — вектор его скорости.

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с).

Ответ: Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость.

2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?

Направление вектора импульса тела $\vec{p}$ всегда совпадает с направлением вектора его скорости $\vec{v}$. Это следует непосредственно из определения импульса: $\vec{p} = m\vec{v}$.

В этой формуле масса $m$ является скалярной (не имеющей направления) и положительной величиной. Умножение вектора (в данном случае, скорости $\vec{v}$) на положительный скаляр ($m$) приводит к новому вектору (импульсу $\vec{p}$), который имеет то же направление, что и исходный.

Таким образом, векторы импульса и скорости всегда сонаправлены.

Ответ: Вектор импульса движущегося тела всегда сонаправлен (имеет то же направление, что и) вектору его скорости.

3. Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 56. О чём он свидетельствует?

3. Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 56. О чём он свидетельствует?

Решение

Поскольку сам рисунок 56 отсутствует, опишем классический опыт по демонстрации закона сохранения импульса, который обычно иллюстрируется в учебниках физики. Чаще всего это опыт со взаимодействием двух тележек на рельсах.

Ход опыта:

1. На гладкие горизонтальные рельсы, где силой трения можно пренебречь, устанавливают две тележки массами $m_1$ и $m_2$. Массы тележек предварительно измеряют.

2. В начальный момент времени одной тележке сообщают скорость $\vec{v_1}$, а вторая тележка покоится ($\vec{v_2} = 0$). Скорости тележек можно измерить, например, с помощью датчиков движения.

3. Тележки сталкиваются. В зависимости от устройства тележек, они могут либо сцепиться (абсолютно неупругий удар) и продолжить движение вместе с общей скоростью $\vec{u}$, либо оттолкнуться друг от друга (упругий удар) и разъехаться с новыми скоростями $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$.

4. Измеряются скорости тележек после взаимодействия.

Анализ и выводы:

Рассчитывается суммарный импульс системы из двух тележек до столкновения: $\vec{p}_{до} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1}$.

Рассчитывается суммарный импульс системы после столкновения: $\vec{p}_{после} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2}$ (для упругого удара) или $\vec{p}_{после} = (m_1+m_2)\vec{u}$ (для неупругого удара).

В результате многократных проведений опыта выясняется, что в пределах погрешности измерений суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия: $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$.

Данный опыт свидетельствует о справедливости закона сохранения импульса. Этот фундаментальный закон гласит, что векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не изменяется в результате их взаимодействия. В данном опыте система из двух тележек является замкнутой (или, точнее, изолированной), так как действующие на нее внешние силы — сила тяжести и сила нормальной реакции опоры — уравновешивают друг друга, а сила трения пренебрежимо мала.

Ответ: Описанный опыт демонстрирует выполнение закона сохранения импульса: в замкнутой системе суммарный импульс тел сохраняется при любых взаимодействиях между ними.

4. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?

Решение

Утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую (или изолированную) систему, означает, что на тела этой системы не действуют внешние силы, либо их векторная сумма равна нулю. В такой системе тела могут взаимодействовать только друг с другом.

Разберем подробнее:

• Внутренние силы – это силы, с которыми тела, входящие в систему, действуют друг на друга (например, силы притяжения, упругости или трения между телами системы). Согласно третьему закону Ньютона, внутренние силы всегда возникают парами, равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма всегда равна нулю.
• Внешние силы – это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в эту систему (например, сила тяжести со стороны Земли, сила сопротивления воздуха).

Система считается замкнутой, если равнодействующая всех внешних сил равна нулю ($\sum \vec{F}_{внешн} = 0$). Это не означает, что внешних сил нет совсем, а лишь то, что они скомпенсированы. Например, для тележек на горизонтальных рельсах (из предыдущего вопроса) внешние силы — это сила тяжести и сила нормальной реакции. Они равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю, поэтому систему можно считать замкнутой в вертикальном направлении. Если трение мало, то и в горизонтальном направлении система близка к замкнутой.

Понятие замкнутой системы является ключевым, так как именно для таких систем выполняется закон сохранения импульса.

Ответ: Утверждение, что несколько тел образуют замкнутую систему, означает, что тела взаимодействуют только между собой, а действие внешних сил скомпенсировано (их векторная сумма равна нулю).

4. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?

4. Утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую (или изолированную) систему, означает, что эти тела могут взаимодействовать только друг с другом, но не взаимодействуют с другими телами, не входящими в эту систему. Другими словами, на тела, составляющие систему, не действуют внешние силы, либо векторная сумма всех внешних сил равна нулю (то есть их действие скомпенсировано).

В такой системе любые изменения состояния (например, импульса или энергии) отдельных тел происходят исключительно в результате их внутреннего взаимодействия. Например, при столкновении двух бильярдных шаров на гладком столе силами трения о стол и сопротивления воздуха можно пренебречь по сравнению с силами, возникающими при ударе. В этом случае на короткий промежуток времени столкновения систему из двух шаров можно считать замкнутой.

Понятие замкнутой системы является физической моделью (идеализацией), так как в реальности абсолютно изолировать систему от всех внешних воздействий невозможно. Однако это приближение очень полезно и эффективно применяется для решения многих физических задач, в которых внутренние силы взаимодействия значительно превосходят внешние.

Ответ: Утверждение, что несколько тел образуют замкнутую систему, означает, что на эти тела не действуют внешние силы, или действие этих сил скомпенсировано, и тела взаимодействуют только между собой.

5. Закон сохранения импульса — это один из фундаментальных законов физики, который гласит: векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, является величиной постоянной.

Это означает, что какой бы сложный характер ни носили взаимодействия между телами внутри замкнутой системы, их суммарный импульс не изменяется со временем. Полный импульс системы до взаимодействия равен полному импульсу системы после взаимодействия.

Математически для системы, состоящей из n тел, закон можно записать в виде:

$ \vec{p}_{общ} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... + \vec{p}_n = \text{const} $

где $ \vec{p}_i = m_i\vec{v}_i $ — импульс i-го тела.

Для наиболее частого случая взаимодействия двух тел в замкнутой системе закон сохранения импульса записывается как:

$ m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2 $

Здесь $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел, $ \vec{v}_1 $ и $ \vec{v}_2 $ — их векторные скорости до взаимодействия, а $ \vec{v'}_1 $ и $ \vec{v'}_2 $ — их векторные скорости после взаимодействия. Закон сохранения импульса является прямым следствием законов Ньютона (в частности, второго и третьего).

Ответ: В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, сохраняется (остается неизменной) при любых взаимодействиях этих тел друг с другом.

5. Сформулируйте закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса — это фундаментальный закон физики, который утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы или равнодействующая всех внешних сил равна нулю.

Импульс тела (или количество движения) $\vec{p}$ является векторной физической величиной, равной произведению массы тела $m$ на его скорость $\vec{v}$: $\vec{p} = m\vec{v}$. Для системы, состоящей из $N$ тел, полный (суммарный) импульс системы $\vec{P}_{sys}$ равен векторной сумме импульсов всех тел:

$\vec{P}_{sys} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_N = \sum_{i=1}^{N} m_i\vec{v}_i$.

Таким образом, закон сохранения импульса можно записать в виде формулы:

$\vec{P}_{sys} = \text{const}$

Это означает, что полный импульс системы до какого-либо взаимодействия равен полному импульсу системы после этого взаимодействия. Например, для двух тел, их суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}'_1 + m_2\vec{v}'_2$, где $\vec{v}$ и $\vec{v}'$ — скорости тел до и после взаимодействия соответственно.

Этот закон является прямым следствием законов Ньютона. Из второго закона Ньютона в импульсной форме ($\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$) следует, что скорость изменения полного импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему: $\frac{d\vec{P}_{sys}}{dt} = \vec{F}_{внешн}$. Внутренние силы, согласно третьему закону Ньютона, попарно компенсируют друг друга ($\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$), и их сумма равна нулю. Если система замкнута, то $\vec{F}_{внешн} = 0$, и, следовательно, $\frac{d\vec{P}_{sys}}{dt} = 0$, что и означает, что $\vec{P}_{sys}$ не изменяется со временем.

Закон сохранения импульса выполняется в различных ситуациях: при столкновении упругих и неупругих тел, в реактивном движении (например, полет ракеты), при взрывах, при отдаче во время выстрела. Например, при выстреле из ружья система "ружье-пуля" до выстрела покоилась (полный импульс равен нулю). После выстрела пуля летит вперед, а ружье испытывает отдачу назад. Суммарный импульс системы "ружье-пуля" после выстрела по-прежнему остается равным нулю: $m_{пули}\vec{v}_{пули} + m_{ружья}\vec{v}_{ружья} = 0$.

Ответ: Векторная сумма импульсов всех тел, составляющих замкнутую систему, не изменяется с течением времени при любых взаимодействиях этих тел между собой. Математически это выражается как $\sum m_i\vec{v}_i = \text{const}$ для замкнутой системы.

6. Для замкнутой системы, состоящей из двух тел, запишите закон сохранения импульса в виде уравнения, в которое входили бы массы и скорости этих тел. Поясните, что означает каждый символ в этом уравнении.

Решение

Закон сохранения импульса является фундаментальным законом физики. Он гласит, что для любой замкнутой системы тел (то есть такой системы, на которую не действуют внешние силы, либо векторная сумма этих сил равна нулю), полный (суммарный) импульс системы остается постоянным во времени, независимо от того, какие взаимодействия происходят между телами внутри системы.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих тел. Обозначим их массы как $m_1$ и $m_2$.

Импульс тела — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Для первого тела импульс равен $\vec{p_1} = m_1\vec{v_1}$, для второго — $\vec{p_2} = m_2\vec{v_2}$.

До взаимодействия скорости тел равны $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Суммарный импульс системы до взаимодействия равен векторной сумме импульсов этих тел:

$\vec{P}_{до} = \vec{p_1} + \vec{p_2} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$

После взаимодействия (например, столкновения) скорости тел изменяются и становятся равными $\vec{v_1}'$ и $\vec{v_2}'$. Суммарный импульс системы после взаимодействия будет равен:

$\vec{P}_{после} = \vec{p_1}' + \vec{p_2}' = m_1\vec{v_1}' + m_2\vec{v_2}'$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы не изменяется, то есть $\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$. Отсюда получаем искомое уравнение:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1}' + m_2\vec{v_2}'$

Это уравнение и есть математическая запись закона сохранения импульса для системы двух тел. Теперь поясним значение каждого символа:

• $m_1$ — масса первого тела;
• $m_2$ — масса второго тела;
• $\vec{v_1}$ — вектор скорости первого тела до взаимодействия;
• $\vec{v_2}$ — вектор скорости второго тела до взаимодействия;
• $\vec{v_1}'$ — вектор скорости первого тела после взаимодействия;
• $\vec{v_2}'$ — вектор скорости второго тела после взаимодействия.

Ответ:

Уравнение закона сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из двух тел, имеет вид: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1}' + m_2\vec{v_2}'$.

Символы в этом уравнении означают:

• $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго тел;
• $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — векторы скоростей этих тел до взаимодействия;
• $\vec{v_1}'$ и $\vec{v_2}'$ — векторы скоростей этих тел после взаимодействия.

1. Две игрушечные заводные машины, массой по 0,2 кг каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машины относительно земли равна 0,1 м/с. Равны ли векторы импульсов машин; модули векторов импульсов? Определите проекцию импульса каждой из машин на ось $X$, параллельную их траектории.

Дано:

Масса каждой машины, $m = 0,2$ кг

Модуль скорости каждой машины, $v = 0,1$ м/с

Движение машин прямолинейное, навстречу друг другу.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Сравнить векторы импульсов машин $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$.

2. Сравнить модули векторов импульсов $|\vec{p_1}|$ и $|\vec{p_2}|$.

3. Проекции импульсов $p_{1x}$ и $p_{2x}$ каждой машины на ось X.

Решение:

Импульс тела является векторной величиной, которая определяется как произведение массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Равны ли векторы импульсов машин; модули векторов импульсов?

Сначала рассмотрим вопрос о равенстве векторов импульсов. Два вектора считаются равными только в том случае, если они имеют одинаковое направление и равные модули. В условии сказано, что машины движутся навстречу друг другу. Это означает, что векторы их скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ направлены в противоположные стороны. Так как масса $m$ — скалярная положительная величина, векторы импульсов $\vec{p_1} = m\vec{v_1}$ и $\vec{p_2} = m\vec{v_2}$ также будут направлены в противоположные стороны. Поскольку направления векторов импульсов не совпадают, сами векторы не равны.

Теперь рассмотрим вопрос о равенстве модулей векторов импульсов. Модуль импульса вычисляется по формуле $p = mv$. Так как по условию массы машин и модули их скоростей одинаковы ($m_1 = m_2 = m$ и $v_1 = v_2 = v$), то и модули их импульсов будут равны.

Вычислим модуль импульса для каждой машины:

$p_1 = m v = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$p_2 = m v = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Таким образом, $p_1 = p_2$.

Ответ: Векторы импульсов машин не равны, так как их направления противоположны. Модули векторов импульсов равны: $p_1 = p_2 = 0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Определите проекцию импульса каждой из машин на ось Х, параллельную их траектории.

Для определения проекций импульсов введем одномерную систему координат, направив ось ОХ вдоль траектории движения. Пусть первая машина движется в положительном направлении оси ОХ. Тогда проекция ее скорости на ось ОХ будет положительной: $v_{1x} = +v = +0,1$ м/с.

Вторая машина движется навстречу первой, то есть в отрицательном направлении оси ОХ. Следовательно, проекция ее скорости на ось ОХ будет отрицательной: $v_{2x} = -v = -0,1$ м/с.

Проекция импульса на ось равна произведению массы на проекцию скорости: $p_x = m v_x$.

Проекция импульса первой машины на ось Х:

$p_{1x} = m v_{1x} = 0,2 \text{ кг} \cdot (+0,1 \text{ м/с}) = 0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Проекция импульса второй машины на ось Х:

$p_{2x} = m v_{2x} = 0,2 \text{ кг} \cdot (-0,1 \text{ м/с}) = -0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Проекция импульса первой машины на ось Х равна $0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$, а проекция импульса второй машины на ось Х равна $-0,02 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.