Страница 92 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.

1. В астрономии существует множество примеров, подтверждающих, что тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории при отсутствии сил сопротивления. Это явление лежит в основе движения всех небесных тел. Силой, меняющей направление скорости, в данном случае выступает гравитационная сила.

Рассмотрим основные примеры:

• Движение планет вокруг Солнца. Земля и другие планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Солнце притягивает планету силой всемирного тяготения. Эта сила всегда направлена к центру Солнца и перпендикулярна (в случае круговой орбиты) или имеет перпендикулярную составляющую к вектору скорости планеты. Именно эта сила заставляет планету постоянно отклоняться от прямолинейной траектории, двигаясь по кривой. Поскольку в космосе практически отсутствует сопротивление (вакуум), планета не теряет свою кинетическую энергию и может продолжать движение миллиарды лет.
• Движение естественных спутников вокруг планет. Классический пример — движение Луны вокруг Земли. Земля притягивает Луну, заставляя её двигаться по орбите. Луна обладает большой скоростью, направленной по касательной к траектории. Без притяжения Земли она улетела бы в космос по прямой. Сила тяжести со стороны Земли постоянно "искривляет" её траекторию, превращая её в замкнутую орбиту.
• Движение искусственных спутников Земли (ИСЗ). ИСЗ, выведенные на достаточно большую высоту (где сопротивление атмосферы пренебрежимо мало), движутся вокруг Земли по тому же принципу. Сила тяжести действует на них как центростремительная сила, удерживая на орбите.

Во всех этих случаях выполняется закон сохранения энергии. Тело обладает кинетической энергией за счет своего движения и потенциальной энергией в гравитационном поле. При отсутствии сил сопротивления (диссипативных сил) полная механическая энергия системы $E = E_k + E_p$ остается постоянной, что и обеспечивает стабильность орбиты на протяжении очень длительного времени.

Ответ: Примерами такого движения являются: обращение планет (например, Земли) вокруг Солнца; обращение естественных спутников (например, Луны) вокруг планет; движение искусственных спутников вокруг Земли. Во всех этих случаях гравитационная сила действует как центростремительная, постоянно изменяя направление вектора скорости тела и заставляя его двигаться по замкнутой орбите в условиях практически полного отсутствия сил сопротивления.

2. Спутники, как естественные (например, Луна), так и искусственные, не падают на Землю, потому что они находятся в состоянии непрерывного свободного падения вокруг Земли. Это может показаться парадоксальным, но объясняется сочетанием двух факторов: силы гравитационного притяжения Земли и большой горизонтальной (тангенциальной) скорости спутника.

Представим мысленный эксперимент, предложенный еще Исааком Ньютоном (пушка на горе).

1. Если выстрелить из пушки с небольшой скоростью, ядро пролетит некоторое расстояние и упадет на Землю под действием гравитации.
2. Если увеличить скорость выстрела, ядро пролетит дальше, прежде чем упасть.
3. Если придать ядру очень большую горизонтальную скорость, так называемую первую космическую скорость (около 7.9 км/с для орбит у поверхности Земли), то по мере того, как ядро будет падать к Земле, поверхность планеты из-за её кривизны будет "уходить" из-под него с такой же скоростью.

В результате траектория падения ядра замкнется в окружность (или эллипс), и оно станет искусственным спутником, который никогда не столкнется с поверхностью. Спутник постоянно "промахивается" мимо Земли.

С физической точки зрения, сила гравитационного притяжения Земли $F_g$ сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_c$. Эта сила всегда направлена к центру Земли, то есть перпендикулярно вектору скорости спутника (для круговой орбиты). Сила, перпендикулярная скорости, не совершает работы, а значит, не изменяет величину скорости (кинетическую энергию), а только меняет её направление. Это постоянное изменение направления скорости и заставляет спутник двигаться по круговой или эллиптической орбите, а не по прямой линии в космос или прямо вниз на Землю.

Таким образом, спутники не парят в невесомости, а постоянно падают, но благодаря своей огромной скорости они все время пролетают "мимо" Земли. Если бы скорость спутника по какой-либо причине уменьшилась (например, из-за трения об остатки атмосферы на низких орбитах), его орбита начала бы снижаться, и в конце концов он упал бы на Землю.

Ответ: Спутники не падают на Землю, так как обладают большой горизонтальной скоростью. Сила притяжения Земли постоянно притягивает спутник к себе, но вместо того чтобы упасть, он, благодаря своей скорости, постоянно "промахивается" мимо планеты, двигаясь по криволинейной орбите. Фактически, движение по орбите — это непрерывное свободное падение вокруг Земли.

2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

Спутники не падают на Землю, потому что они обладают достаточно большой горизонтальной (тангенциальной) скоростью. Сила тяжести, действующая на спутник, постоянно направлена к центру Земли. Эта сила играет роль центростремительной силы: она не уменьшает скорость спутника (в случае круговой орбиты), а постоянно изменяет направление его вектора скорости, заставляя спутник двигаться по криволинейной траектории — орбите.

Можно представить это так: если бросить камень горизонтально, он пролетит некоторое расстояние и упадет на землю. Если бросить его с большей скоростью, он пролетит дальше. Если сообщить телу на определенной высоте над Землей (пренебрегая сопротивлением воздуха) скорость, равную первой космической скорости (около 7,9 км/с), то его траектория будет изгибаться ровно настолько, насколько изгибается поверхность Земли. В результате тело будет двигаться вокруг Земли, постоянно «падая», но никогда не достигая ее поверхности.

Таким образом, движение спутника — это баланс между его инерционным движением по прямой и постоянным притяжением к Земле. Сила тяжести $F_{тяж}$ обеспечивает центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности, что описывается равенством: $G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты, а $v$ — скорость спутника. Пока спутник сохраняет эту скорость, он остается на орбите.

Ответ: Спутники не падают на Землю, так как их высокая горизонтальная скорость в сочетании с постоянным притяжением к Земле заставляет их двигаться по орбите. Сила тяжести действует как центростремительная сила, непрерывно изменяя направление движения спутника, но не позволяя ему приблизиться к поверхности.

3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?

Да, обращение спутника вокруг Земли можно и нужно считать свободным падением. Свободное падение — это движение тела, на которое действует только сила тяжести.

В случае спутника на орбите (если пренебречь незначительными силами, такими как сопротивление разреженной атмосферы или давление солнечного света), единственной существенной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения Земли. Тот факт, что спутник не движется «вниз» к центру Земли, а вращается вокруг нее, не противоречит определению свободного падения. Это лишь частный случай свободного падения, при котором у тела есть большая начальная горизонтальная скорость.

Именно поэтому космонавты на борту орбитальной станции находятся в состоянии невесомости: и они сами, и станция, и все предметы внутри нее «падают» на Землю с одинаковым ускорением, поэтому они не давят друг на друга (на пол, на весы и т.д.).

Ответ: Да, можно, поскольку свободное падение — это движение под действием исключительно силы тяжести, а именно эта сила и удерживает спутник на орбите (пренебрегая другими незначительными силами).

3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?

3. Да, обращение искусственного спутника вокруг Земли можно считать свободным падением.

Решение:

Свободным падением называется движение тела, на которое действует только сила тяжести. Когда спутник находится на орбите, он движется на такой высоте, где сопротивление атмосферы пренебрежимо мало. Поэтому единственной существенной силой, действующей на спутник, является сила гравитационного притяжения Земли.

Может показаться странным называть движение по круговой орбите «падением», но это именно так. Спутнику при выводе на орбиту сообщается большая начальная скорость, направленная по касательной к траектории (горизонтально). Под действием силы тяжести спутник постоянно отклоняется от прямой и «падает» в сторону Земли. Однако его горизонтальная скорость настолько велика, что за время падения на некоторое расстояние, поверхность Земли из-за своей кривизны «уходит» из-под него на такое же расстояние. В результате спутник никогда не достигает поверхности, а продолжает двигаться по замкнутой криволинейной траектории, постоянно «падая» вокруг Земли.

Состояние невесомости, которое испытывают космонавты на борту орбитальной станции, является прямым следствием этого свободного падения. И станция, и все, что находится внутри нее, падают на Землю с одним и тем же ускорением, поэтому они не оказывают давления друг на друга.

Ответ: Да, можно, так как движение спутника на орбите происходит под действием практически одной только силы гравитационного притяжения Земли, что соответствует определению свободного падения.

4. Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо выполнить два ключевых условия.

Решение:

1. Поднять тело на достаточную высоту. Тело нужно вывести за пределы плотных слоев атмосферы (как правило, на высоту более 150–200 км). Это необходимо, чтобы минимизировать силу сопротивления воздуха. Если бы тело двигалось с огромной скоростью в атмосфере, оно бы быстро затормозилось, потеряло высоту и сгорело из-за трения о воздух.

2. Сообщить телу определенную скорость в горизонтальном направлении. На нужной высоте телу необходимо придать строго определенную скорость, направленную по касательной к поверхности Земли. Эта скорость называется первой космической скоростью (или орбитальной скоростью) для данной высоты.

Физический смысл заключается в том, что для движения по круговой орбите сила гравитационного притяжения Земли $F_g$ должна полностью расходоваться на создание центростремительного ускорения, то есть она должна быть равна центростремительной силе $F_{цс}$:

$F_g = F_{цс}$

Сила гравитации находится по закону всемирного тяготения: $F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, $r$ — расстояние от центра Земли до тела.

Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности радиуса $r$ со скоростью $v$: $F_{цс} = \frac{m v^2}{r}$.

Приравнивая их, получаем: $G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Из этого уравнения можно найти необходимую для круговой орбиты скорость $v$: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Для низкой околоземной орбиты (когда $r$ близок к радиусу Земли) эта скорость составляет примерно 7,9 км/с. Если скорость будет меньше, тело упадет на Землю по эллиптической траектории. Если скорость будет больше первой космической (но меньше второй), то орбита станет вытянутой, эллиптической.

Ответ: Необходимо поднять тело на высоту, где практически отсутствует атмосфера, и сообщить ему в горизонтальном направлении скорость, равную первой космической скорости для этой высоты.

4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

4. Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо выполнить два основных условия:

1. Поднять тело на достаточную высоту над поверхностью Земли, где сопротивление атмосферы пренебрежимо мало (обычно это высоты более 150–200 км). Если этого не сделать, то сила трения о воздух быстро замедлит тело, и оно упадет обратно на Землю.

2. Сообщить телу на этой высоте определенную скорость, направленную горизонтально (по касательной к орбите). Величина этой скорости имеет решающее значение:

• Если скорость будет недостаточной, тело полетит по эллиптической траектории, низшая точка которой будет находиться под поверхностью Земли, то есть тело упадет на Землю.

• Если скорость будет равна так называемой первой космической скорости для данной высоты, тело начнет двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Оно будет как бы постоянно "падать" на Землю, но из-за ее кривизны никогда не достигнет поверхности.

• Если скорость будет больше первой космической, но меньше второй космической скорости, траекторией движения спутника будет эллипс.

• Если скорость будет равна или больше второй космической скорости (скорости убегания), тело преодолеет гравитационное притяжение Земли и уйдет в межпланетное пространство.

Таким образом, для вывода тела на круговую орбиту его необходимо поднять на нужную высоту и придать ему первую космическую скорость в горизонтальном направлении.

Ответ: Тело необходимо поднять на высоту, где практически отсутствует атмосфера, и сообщить ему скорость, равную первой космической скорости для этой высоты, в направлении, перпендикулярном радиусу, проведенному из центра Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) – это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Рассмотрим спутник массой $m$, движущийся по круговой орбите радиусом $r$ вокруг Земли массой $M$. Для простоты вывода будем считать, что спутник движется на небольшой высоте над поверхностью, поэтому радиус орбиты можно считать равным радиусу Земли: $r \approx R_З$.

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием единственной силы – силы всемирного тяготения $F_т$, которая и сообщает спутнику необходимое центростремительное ускорение $a_ц$.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m \cdot a_ц$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v_1$, равно:

$a_ц = \frac{v_1^2}{r}$

Приравниваем выражения для силы, так как сила тяготения и есть та сила, что создает центростремительное ускорение:

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v_1^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ (это показывает, что скорость не зависит от массы спутника) и радиус $r$ в знаменателе:

$G \frac{M}{r} = v_1^2$

Отсюда выражаем первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения $g$. Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра Земли равно $g = G \frac{M}{r^2}$. Если спутник находится у самой поверхности ($r \approx R_З$), то $g \approx g_0$, где $g_0$ - ускорение свободного падения на поверхности. Отсюда $G \cdot M = g_0 \cdot R_З^2$.

Подставим это выражение в нашу формулу для скорости, считая $r = R_З$:

$v_1 = \sqrt{\frac{g_0 \cdot R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g_0 \cdot R_З}$

Таким образом, мы получили две эквивалентные формулы для расчета первой космической скорости для орбиты, близкой к поверхности планеты.

Ответ: Формула для расчета первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите радиусом $r$ вокруг планеты массой $M$: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$. Для орбиты вблизи поверхности Земли ($r \approx R_З$): $v_1 = \sqrt{g_0 R_З}$.

5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Чтобы тело (спутник) двигалось по круговой орбите вокруг Земли, на него должна действовать центростремительная сила. В данном случае роль этой силы выполняет сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В нашем случае сила тяготения $F_т$ сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_т = m a_ц$

Сила всемирного тяготения определяется по закону Ньютона:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, а $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Подставим выражения для силы и ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить на $r$:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выражаем скорость $v$:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

По условию, спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Это означает, что радиус его орбиты $r$ можно считать приблизительно равным среднему радиусу Земли $R_З$. Таким образом, первая космическая скорость $v_1$ вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M_З}{R_З}}$

Эту же формулу можно представить в другом виде, используя ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. У поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело, $F_{тяж} = mg$. Эта сила и есть гравитационная сила $F_т = G \frac{M_З m}{R_З^2}$. Приравнивая их, получаем:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократив массу $m$, получим важное соотношение:

$g = \frac{G M_З}{R_З^2}$, откуда $G M_З = g R_З^2$

Теперь подставим выражение $g R_З^2$ вместо $G M_З$ в выведенную ранее формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З}$

Таким образом, мы получили две эквивалентные формулы для расчёта первой космической скорости.

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, имеет вид $v_1 = \sqrt{G \frac{M_З}{R_З}}$ или, в эквивалентной форме, $v_1 = \sqrt{gR_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, а $g$ — ускорение свободного падения у её поверхности.