Номер 5, страница 92 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Чтобы тело (спутник) двигалось по круговой орбите вокруг Земли, на него должна действовать центростремительная сила. В данном случае роль этой силы выполняет сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В нашем случае сила тяготения $F_т$ сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_т = m a_ц$

Сила всемирного тяготения определяется по закону Ньютона:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, а $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Подставим выражения для силы и ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить на $r$:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выражаем скорость $v$:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

По условию, спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Это означает, что радиус его орбиты $r$ можно считать приблизительно равным среднему радиусу Земли $R_З$. Таким образом, первая космическая скорость $v_1$ вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M_З}{R_З}}$

Эту же формулу можно представить в другом виде, используя ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. У поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело, $F_{тяж} = mg$. Эта сила и есть гравитационная сила $F_т = G \frac{M_З m}{R_З^2}$. Приравнивая их, получаем:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократив массу $m$, получим важное соотношение:

$g = \frac{G M_З}{R_З^2}$, откуда $G M_З = g R_З^2$

Теперь подставим выражение $g R_З^2$ вместо $G M_З$ в выведенную ранее формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З}$

Таким образом, мы получили две эквивалентные формулы для расчёта первой космической скорости.

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, имеет вид $v_1 = \sqrt{G \frac{M_З}{R_З}}$ или, в эквивалентной форме, $v_1 = \sqrt{gR_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, а $g$ — ускорение свободного падения у её поверхности.