Номер 1, страница 93 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. ($M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг; $R_З = 6,4 \cdot 10^6$ м.)

1. Дано

$h = 2600 \text{ км}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$ (гравитационная постоянная)

$h = 2600 \text{ км} = 2600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v - ?$

Решение

Искусственный спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение.

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Землей и спутником определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила ($F_ц$), действующая на спутник, равна:

$F_ц = m a_ц = \frac{mv^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, а $r$ — радиус орбиты.

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$ в уравнении:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выразим скорость спутника $v$:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты над поверхностью Земли $h$:

$r = R_З + h$

Подставим числовые значения и вычислим радиус орбиты:

$r = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 9,0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость спутника:

$v = \sqrt{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{9,0 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{9,0 \cdot 10^6} \frac{м^2}{с^2}} \approx \sqrt{4,447 \cdot 10^7 \frac{м^2}{с^2}} \approx 6668,5 \frac{м}{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$v \approx 6,7 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 6,7 \frac{км}{с}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли равна примерно $6,7 \cdot 10^3$ м/с или 6,7 км/с.