Номер 2, страница 93 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью $1.67 \text{ км/с}$. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно $1.6 \text{ м/с}^2$.

Дано:

Скорость спутника на круговой орбите, $v = 1,67$ км/с

Ускорение свободного падения на поверхности Луны, $g_Л = 1,6$ м/с²

$v = 1,67 \text{ км/с} = 1,67 \cdot 1000 \text{ м/с} = 1670 \text{ м/с}$

Найти:

Радиус Луны $R_Л$

Решение:

Для тела, движущегося по круговой орбите, необходимо наличие центростремительной силы, которая сообщает ему центростремительное ускорение. В случае спутника, вращающегося вокруг Луны, такой силой является сила гравитационного притяжения.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник, равна произведению его массы $m$ на ускорение $a$:

$F = ma$

Поскольку спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Луны, его ускорение является центростремительным и равно ускорению свободного падения на поверхности Луны, то есть $a = g_Л$.

Центростремительное ускорение также выражается через орбитальную скорость $v$ и радиус орбиты $R$ по формуле:

$a = \frac{v^2}{R}$

Так как орбита находится вблизи поверхности, ее радиус $R$ можно считать равным радиусу Луны $R_Л$.

Приравнивая два выражения для ускорения, получаем:

$g_Л = \frac{v^2}{R_Л}$

Из этой формулы выразим искомый радиус Луны $R_Л$:

$R_Л = \frac{v^2}{g_Л}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$R_Л = \frac{(1670 \text{ м/с})^2}{1,6 \text{ м/с}^2} = \frac{2788900 \text{ м}^2/\text{с}^2}{1,6 \text{ м/с}^2} = 1743062,5 \text{ м}$

Результат можно перевести в километры для большей наглядности:

$1743062,5 \text{ м} = 1743,0625 \text{ км} \approx 1743 \text{ км}$

Ответ: радиус Луны равен $1743062,5 \text{ м}$, или приблизительно $1743 \text{ км}$.